Question

这是基于我读过大型软件公司提出的关于谜题和面试问题的文章，但它有一个转折......

一般问题：

什么算法可以让人们坐在电影院里，让他们直接坐在他们的朋友旁边而不是他们的敌人旁边。

技术问题：

给定N×M网格，用N * M-1项填充网格。每个项目具有每个其他N * M-2项目的关联布尔值。在N的每一行中，与其他项目直接相邻的项目应该具有另一项的正关联值。然而，列无关紧要，即一个项目可以是＆＃34;敌人＆＃34;与前面的项目。 注意：如果项目A具有B的正关联值，那么这意味着B也具有A的正关联值。对于负关联值，它的工作方式相同。保证项目与至少一个其他项目有正面关联。，您可以在开始将它们放入网格之前访问所有项目及其关联值。

注释：

我一直在研究这个问题并从昨天开始考虑它，从我发现它让我想起bin packing problem有一些额外的要求。在一些空闲时间里，我试图实现它，但大量的敌人＆＃34;他们坐在一起。我相信大多数情况都必须至少有一对敌人坐在一起，但我的解决方案远非最佳。它实际上看起来好像我已经随机化了它。

就我的实现而言，我做了N = 10，M = 10，项目数= 99，并且对于具有随机布尔值的EACH项具有大小为99的数组，该值指的是友谊相应的项目编号。这意味着每个项目都有一个与他们自己相对应的友谊值，我只是忽略了这个值。

我打算稍后再尝试重新实现这个，我会发布代码。任何人都可以找到一个好的＆＃34;这样做的方法是尽量减少敌人之间的座位冲突？

Answer 1

此问题为NP-Hard 定义L={(G,n,m)|there is a legal seating for G in m×m matrix,(u,v) in E if u is friend of v} L是该问题作为语言的正式定义。

<强>证明：
我们将在2个步骤中显示哈密顿量问题≤（p）2路径≤（p）这个问题 [哈密顿量和下面定义的2路径]，因此我们得出结论这个问题是NP-Hard

（1）我们将展示在不使用任何顶点两次的情况下找到覆盖所有顶点的两条路径是NP-Hard [让我们称这样的路径：2路径，这个问题就像2路径问题]
减少Hamiltonian Path problem：

input: a graph G=(V,E)
Output: a graph G'=(V',E) where V' = V U {u₀}.

正确性：

如果G有汉密尔顿路径：v 1→v 2→...→vn，则G'有2路径： V 1 V 2→→...→VN，u₀
如果G'有2个路径，因为u 0与其余的顶点隔离，所以有一个路径：v 1→...→vn，在G中是哈密顿量。

因此：G具有哈密顿路径1⇔G'具有2路径，因此：2路径问题是NP-Hard。

（2）我们现在将证明我们的问题[L]也是NP-Hard：
我们将显示上面定义的2路问题的减少。

input: a graph G=(V,E)
output: (G,|V|+1,1) [a long row with |V|+1 sits].

正确性：

如果G有2路，那么我们就可以让人们坐下来，并使用1坐垫用作两条路径之间的“缓冲区”，这将是一个合法的完美座位因为如果v 1坐在v 2旁边，那么v 1 v 1→v 2就在路径中，因此（v 1，v 2）在E中，所以v 1，v 2是朋友。
如果（G，| V | +1,1）是合法席位：[v 1，...，vk，缓冲区，vk + 1，...，vn]，则有G中的2路径， v 1→...→vk，vk + 1→...→vn

结论：这个问题是NP-Hard，因此没有已知的多项式解决方案。

指数解决方案： 您可能想要使用backtracking解决方案：这基本上是：创建大小为| V | -2或更小的E的所有子集，检查哪个最佳。

static best <- infinity
least_enemies(G,used):
  if |used| <= |V|-2:
     val <- evaluate(used)
     best <- min(best,val)
  if |used| == |V|-2: 
     return
  for each edge e in E-used: //E without used 
     least_enemies(G,used + e)

在这里我们假设evaluate（used）给出了这个解决方案的'得分'。如果这个解决方案完全是非法的[即顶点出现两次]，evaluate(used)=infinity。当然可以进行优化，修剪这些情况。为了得到真正的坐姿，我们可以存储当前最好的解决方案。

（*）可能有更好的解决方案，这只是一个简单的可能解决方案，这个答案的主要目的是证明这个问题是NP-Hard。

编辑：更简单的解决方案：
创建图G'=(V U { u₀ } ,E U {(u₀,v),(v,u₀) | for each v in V}) [u 0是缓冲区的垃圾顶点]和边的权重函数：

w((u,v)) = 1    u is friend of v
w((u,v)) = 2    u is an enemy v
w((u0,v)) = w ((v,u0)) = 0

现在，您可以使用动态编程在O(|V|^2 * 2^|V|) TSP中获得经典solved。

请注意，此解决方案[使用TSP]适用于一个带衬里的影院，但它可能是找到一般案例解决方案的良好导致。

Answer 2

用于大型“搜索空间”的一种算法是simulated annealing

在电影院里坐人

2 个答案: