正则表达式等价

Question

以下正则表达式是否等效？为什么或为什么不呢？

(ab)* u (aba)* = (ab u aba)*

  

* = Kleene star

     

u =联盟（设定理论）

Answer 1

不，他们不等同。 RHS上的语言包含“abaab”，但LHS上的语言不包含。这些之间有什么关系吗？是;但我不会只给你答案。 提示：RHS中是否有任何字符串不在LHS中？

编辑：

为感兴趣的读者解释一下。语言是字符串集。因此，集合之间的关系也是语言之间的关系。最常见的集合关系是相等，子集和超集。给定宇宙集U1和U2上的两个集A和B，集合A是宇宙集U1 u U2下的B的子集（u代表并集）iff的每个元素也是B的元素。类似地，给定两个集合A宇宙集U1和U2上的B和集合A，集合A是宇宙集U1 u U2（u代表联合）的B的超集，如果B的每个元素也是A的元素（等价，iff B是A的子集） 。集合A和B是相等的iff A是B的子集，B是A的子集（等效地，iff A是B的超集，B是A的超集）。注意，两组A和B不必处于这三种关系中的任何一种;当A包含不在B中的元素时，会发生这种情况，同时B包含不在A中的元素。

要找出集合A和B之间存在四种可能关系中的哪一种 - 相等，子集，超集，无 - 您通常检查A是否是B的子集以及B是否是A的子集。调用第一个检查B1和第二检查B2，其中B1和B2是布尔变量，并且如果检查通过则为真（即，在B1的情况下A是B的子集，并且在B2的情况下B是A的子集）。然后（B1＆amp;＆amp; B2）对应于相等，（B1＆amp;＆amp; B2）对应子集，（！B1＆amp;＆amp; B2）对应超集，（！B1＆amp;＆amp; B2）对应没有关系。

在上面的例子中，我通过证明RHS包含不在LHS中的元素来证明两种语言不相等。请注意，这也排除了“A是B的超集”关系。剩下两个：B是A的超集，或者它们之间没有关系。要确定这一点，您必须确定A是否是B的子集; LHS语言中的元素是否都是RHS语言。如果是这样，LHS就是一个子集;否则，没有关系。

为了表明一组中有一个元素而不是另一个元素，最简单和最有说服力的方法是反例证明：在一个中命名一个字符串，而不是另一个。这是我采用的方法。您还可以创建一个参数，语言必须包含这样的元素，而不必明确命名它;这种证明可能更难以正确。

要显示集合A的每个元素也在集合B中，您将需要更通用的校对技术。通过归纳证明和矛盾证明是常见的例子。要进行归纳证明，您可以明确地或隐式地为语言中的每个字符串分配一个自然数，证明您的声明（在这种情况下，该元素也是另一个集合的元素）与一个简单的参数一致。然后，您假设对于集合中的前n个元素（根据您给出的编号）是正确的，并且表明这意味着之后的所有元素也必须满足您的声明。要做一个矛盾的证明，你假设与你想证明的相反，并产生矛盾。如果你成功并且你唯一的假设是你的主张是错误的，那么你的主张一直都是真的。

Answer 2

不，它们不相同。

<强>相似点：

1. 都接受空字符串
2. 都接受“ababa”（ regex2 的最小表达）

<强>差异：

1. ab 和 aba 可能会在 regex1 中出现一次，与 regex2 不同，可能会出现或者没有，但结合在一起。

由于我们有所不同，我们可以说它们不相同。

<强> BUT

由于正则表达式是常规语言的表示（不是描述），您无法分辨 regex1 等同于< strong> regex2 只需查看表达式，证明它（数学证明）就可以将这些正则表达式转换为 NFA （非确定性有限自动机）或DFA（确定性有限自动机）和比较不同之处。