计算3D（或n-D）质心的最佳方法是什么？

Question

作为工作项目的一部分，我必须计算3D空间中一组点的质心。现在我以一种看似简单但天真的方式做到这一点 - 通过取每组点的平均值，如：

centroid = average(x), average(y), average(z)

其中x，y和z是浮点数的数组。我似乎记得有一种方法可以获得更准确的质心，但我还没有找到一个简单的算法。任何人有任何想法或建议吗？我正在使用Python，但我可以调整其他语言的示例。

Answer 1

不，这是点集合的质心的唯一公式。见维基百科：http://en.wikipedia.org/wiki/Centroid

Answer 2

你含糊地提到“一种获得更准确的质心的方法”。也许你在谈论一个不受异常值影响的质心。例如，美国的平均家庭收入可能非常高，因为少数非常的富人倾向于平均水平;他们是“异常者”。因此，统计学家使用中位数。获得中位数的一种方法是对值进行排序，然后在列表中间选择值。

也许你正在寻找类似的东西，但对于2D或3D点。问题是，在2D和更高版本中，您无法排序。没有自然秩序。然而，有办法摆脱异常值。

一种方法是找到点的convex hull。凸包在点集的“外部”上具有所有点。如果你这样做，并扔出船体上的点，你将抛弃异常值，剩下的点将给出一个更“代表性”的质心。您甚至可以多次重复此过程，结果就像剥洋葱一样。事实上，它被称为“凸壳剥皮”。

Answer 3

与此处的常见副词相反，有不同的方法来定义（和计算）点云的中心。您已经提出了第一个也是最常见的解决方案，我将不认为这有任何问题：

centroid = average(x), average(y), average(z)

这里的“问题”是它会根据你的分布点“扭曲”你的中心点。例如，如果你假设你的所有点都在一个立方体盒子或其他几何形状内，但大部分都恰好放在上半部分，你的中心点也会向那个方向移动。

作为替代方案，您可以使用每个维度中的数学中间值（极值的平均值）来避免这种情况：

middle = middle(x), middle(y), middle(z)

当你不太关心点数时，可以使用它，但更多关于全局边界框，因为这就是 - 你的点周围的边界框的中心。

最后，您还可以在每个维度中使用median（中间的元素）：

median = median(x), median(y), median(z)

现在，这将与middle相反，实际上可以帮助您忽略点云中的异常值，并根据点的分布找到的中心点。

找到“好”中心点的更强大的方法可能是忽略每个维度中的最高和最低10％，然后计算average或median。如您所见，您可以通过不同方式定义中心点。下面我将向您展示2个2D点云的示例，并考虑到这些建议。

深蓝色点是平均（平均）质心。 中位数以绿色显示。 中间显示为红色。 在第二张图片中，您将看到我之前正在谈论的内容：绿点“更接近”点云的最密集部分，而红点距离它更远，考虑到最极端的边界。点云。

Answer 4

你可以使用增加准确度求和 - Kahan求和 - 那是你的想法吗？

Answer 5

可能效率更高：如果你多次计算，你可以通过保留两个常设变量来加快这一速度

N  # number of points
sums = dict(x=0,y=0,z=0)  # sums of the locations for each point

然后在创建或销毁点时更改N和求和。这会将事物从O（N）改变为O（1），以便在每次创建，移动或销毁点时以更多工作为代价进行计算。

Answer 6

“更准确的质心”我相信质心是按照你计算的方式定义的，因此不会有“更准确的质心”。

Answer 7

是的，这是正确的公式。

如果你有大量的点，你可以利用问题的对称性（无论是圆柱形，球形，镜面）。否则，您可以从统计数据中借用并平均随机数点，并且只是有一点误差。

Answer 8

如果您的 n 维 向量在列表中 [[a0, a1, ..., an],[b0, b1, ..., bn],[c0 , c1, ..., cn]]，只需将列表转换为数组，然后像这样计算质心：

import numpy as np

vectors = np.array(Listv)
centroid = np.mean(vectors, axis=0)

Answer 9

你明白了。你在计算的是质心或平均向量。