Question

在对previous question的评论中，建议从 Mathematica 5.2生成的InterpolatingFunction中提取所有数据，然后在 Mathematica 8.建议的方法是使用DifferentialEquations`InterpolatingFunctionAnatomy`包中定义的函数从InterpolatingFunction中提取数据。天真地尝试，

Needs["DifferentialEquations`InterpolatingFunctionAnatomy`"]
ifun = First[
   x /. NDSolve[{x'[t] == Exp[x[t]] - x[t], x[0] == 1}, 
     x, {t, 0, 10}]];
data = Transpose@{InterpolatingFunctionGrid[ifun], 
    InterpolatingFunctionValuesOnGrid[ifun]};
interpolationOrder = 
  Developer`FromPackedArray@
   InterpolatingFunctionInterpolationOrder[ifun];
ifun2 = Interpolation[data, InterpolationOrder -> interpolationOrder];
Table[ifun[x] - ifun2[x], {x, 0, 0.5160191740198963`, .1}]

我在原始函数和重构函数之间得到显着差异：

{0., 2.13061*10^-7, 2.05087*10^-7, 2.46198*10^-7, 6.68937*10^-7, 
 1.5624*10^-7}

查看这些函数的InputForm表明它们并不完全相同。是否可以通过从中提取所有数据并在提取的数据上调用InterpolatingFunction来重建Interpolation？

Answer 1

修改

以下是代码中的一般解决方案：

Clear[reconstructInterpolatingFunction];
reconstructInterpolatingFunction[intf_InterpolatingFunction] :=
   With[{data = intf[[4, 3]], 
      step = Subtract @@ Reverse[ Take[intf[[4, 2]], 2]],
      order = 
          Developer`FromPackedArray@
              InterpolatingFunctionInterpolationOrder[intf],
      grid = InterpolatingFunctionGrid[intf]
      },
     Interpolation[
         MapThread[Prepend, {Partition[data, step], grid}], 
         InterpolationOrder -> order
     ]
   ];

请参阅下面的说明。但请注意，上面的代码确实依赖于InterpolatingFunction对象的某些细节，这些细节可能是特定于版本的，因为显然DifferentialEquations`InterpolatingFunctionAnatomy`的API似乎不允许在以下值时完全重建原始对象函数导数很重要。

结束编辑

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NDSolve似乎在构造InterpolatingFunction时包含有关衍生物的信息，这是有道理的。在你的情况下，这将包括一阶导数，因为你的方程是一阶的。但是，当我们使用DifferentialEquations` InterpolatingFunctionAnatomy`包中的函数时，这些信息就会丢失。获取它的方法是直接访问初始InterpolatingFunction对象。这是一个简单的例子：

In[156]:= ifun=First[x/.NDSolve[{x'[t]==2x[t],x[0]==1},x,{t,0,0.1}]];

In[157]:= ifun[[4,3]]
Out[157]= {1.,2.,1.00002,2.00004,1.00004,2.00008,1.00457,2.00913,1.00911,2.01823,
1.01368,2.02736,1.02787,2.05573,1.04225,2.0845,1.05684,2.11368,1.07163,2.14326,
1.09328,2.18655,1.11536,2.23073,1.13789,2.27579,1.16088,2.32176,1.18433,2.36867,
1.20272,2.40545,1.2214,2.44281}

这表明在该网格点处，每个值后跟导数的值。因此，构造新对象的方法是这样的：

ifun5 = 
Interpolation[
   MapThread[Prepend, 
  {Partition[ifun[[4, 3]], 2], InterpolatingFunctionGrid[ifun]}], 
  InterpolationOrder -> (interpolationOrder)]

这使用Interpolation的扩展形式，其中也可以指定导数的值。这通过了我们的测试：

In[161]:= Table[(1-ifun5[x]/ifun[x]),{x,0,0.1,.01}]
Out[161]= {0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.}

确定给定InterpolatingFunction中我们获得信息的衍生物的方法是查看此部分：

In[176]:= ifun[[4,2]]
Out[176]= {0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,32,34}

在这种情况下，步骤为2，因此我们有一个值加上一阶导数。例如，对于二阶方程，步长为3，您将需要Partition[...,3]。因此，您可以通过获取此部分中的步骤来确定订单。

现在，真实的事情：

In[162]:= 
ifun=First[x/.NDSolve[{x'[t]==Exp[x[t]]-x[t],x[0]==1},x,{t,0,10}]];
interpolationOrder=Developer`FromPackedArray@InterpolatingFunctionInterpolationOrder[ifun];
ifunnew = Interpolation[MapThread[Prepend,  
{Partition[ifun[[4,3]],2],InterpolatingFunctionGrid[ifun]}],
 InterpolationOrder->(interpolationOrder)];
Table[(1-ifunnew[x]/ifun[x]),{x,0,0.5,.1}]

During evaluation of In[162]:= NDSolve::ndsz: At t == 0.5160191740198969`, 
step size is effectively zero; singularity or stiff system suspected. >>
Out[165]= {0.,0.,0.,1.11022*10^-16,0.,0.}