在不使用gluSphere（）的情况下在OpenGL中绘制球体？

Question

是否有任何教程可以解释如何在不使用gluSphere()的情况下在OpenGL中绘制球体？

OpenGL的许多3D教程都只是在立方体上。我已经搜索过，但绘制球体的大多数解决方案都是使用gluSphere()。还有一个网站具有在this site绘制球体的代码，但它没有解释绘制球体背后的数学。我还有其他版本的如何在多边形而不是该链接中的四边形绘制球体。但同样，我不明白如何使用代码绘制球体。我希望能够进行可视化，以便在需要时可以修改球体。

Answer 1

你能做到的一种方法是从一个带三角形边的柏拉图式实体开始 - 例如octahedron。然后，取每个三角形并递归地将其分解为更小的三角形，如下所示：

一旦你有足够的点数，你就可以对它们的矢量进行标准化，使它们距离实体的中心都是一个恒定的距离。这会使侧面凸出成类似于球体的形状，随着您增加点数而增加平滑度。

这里的归一化意味着移动一个点，使其相对于另一个点的角度相同，但它们之间的距离是不同的。 这是一个二维的例子。

A和B相距6个单位。但是假设我们想在AB线上找到一个距离A 12个单位的点。

我们可以说C是B的归一化形式，相对于A，距离为12.我们可以用这样的代码获得C：

#returns a point collinear to A and B, a given distance away from A. 
function normalize(a, b, length):
    #get the distance between a and b along the x and y axes
    dx = b.x - a.x
    dy = b.y - a.y
    #right now, sqrt(dx^2 + dy^2) = distance(a,b).
    #we want to modify them so that sqrt(dx^2 + dy^2) = the given length.
    dx = dx * length / distance(a,b)
    dy = dy * length / distance(a,b)
    point c =  new point
    c.x = a.x + dx
    c.y = a.y + dy
    return c

如果我们对很多点进行这种归一化处理，所有这些都是针对相同的点A并且具有相同的距离R，那么归一化的点将全部位于具有中心A和半径R的圆弧上。

在这里，黑点从一条线开始并“凸出”成弧形。

此过程可以扩展为三维，在这种情况下，您可以获得球体而不是圆形。只需在规范化函数中添加一个dz组件即可。

如果你看Epcot处的球体，你可以看到这种技术在起作用。它是一个带有凸出面孔的十二面体，使它看起来更圆。

Answer 2

我将进一步解释一种使用纬度和经度生成球体的流行方法（另一种方法） 方式， icospheres ，在撰写本文时已经在最受欢迎的答案中进行了解释。）

球体可以用以下参数方程表示：

F （ u ， v ）= [cos（u）* sin（v）* r，cos（v）* r ，sin（u）* sin（v）* r]

其中：

• r 是半径;
• u 是经度，范围从0到2π;和
• v 是纬度，范围从0到π。

生成球体然后涉及以固定间隔评估参数函数。

例如，要生成16行经度， u 轴上将有17条网格线，步长为 π/ 8（2π/ 16）（第17行环绕）。

以下伪代码通过评估参数函数生成三角形网格 定期（这适用于任何参数曲面函数，而不仅仅是球体）。

在下面的伪代码中， UResolution 是沿U轴的网格点数 （此处为经度线）， VResolution 是沿V轴的网格点数 （这里是纬度线）

var startU=0
var startV=0
var endU=PI*2
var endV=PI
var stepU=(endU-startU)/UResolution // step size between U-points on the grid
var stepV=(endV-startV)/VResolution // step size between V-points on the grid
for(var i=0;i<UResolution;i++){ // U-points
 for(var j=0;j<VResolution;j++){ // V-points
 var u=i*stepU+startU
 var v=j*stepV+startV
 var un=(i+1==UResolution) ? EndU : (i+1)*stepU+startU
 var vn=(j+1==VResolution) ? EndV : (j+1)*stepV+startV
 // Find the four points of the grid
 // square by evaluating the parametric
 // surface function
 var p0=F(u, v)
 var p1=F(u, vn)
 var p2=F(un, v)
 var p3=F(un, vn)
 // NOTE: For spheres, the normal is just the normalized
 // version of each vertex point; this generally won't be the case for
 // other parametric surfaces.
 // Output the first triangle of this grid square
 triangle(p0, p2, p1)
 // Output the other triangle of this grid square
 triangle(p3, p1, p2)
 }
}

Answer 3

快速解释样本中的代码。您应该查看函数void drawSphere(double r, int lats, int longs)：

void drawSphere(double r, int lats, int longs) {
    int i, j;
    for(i = 0; i <= lats; i++) {
        double lat0 = M_PI * (-0.5 + (double) (i - 1) / lats);
        double z0  = sin(lat0);
        double zr0 =  cos(lat0);

        double lat1 = M_PI * (-0.5 + (double) i / lats);
        double z1 = sin(lat1);
        double zr1 = cos(lat1);

        glBegin(GL_QUAD_STRIP);
        for(j = 0; j <= longs; j++) {
            double lng = 2 * M_PI * (double) (j - 1) / longs;
            double x = cos(lng);
            double y = sin(lng);

            glNormal3f(x * zr0, y * zr0, z0);
            glVertex3f(x * zr0, y * zr0, z0);
            glNormal3f(x * zr1, y * zr1, z1);
            glVertex3f(x * zr1, y * zr1, z1);
        }
        glEnd();
    }
}

参数lat定义您想要在球体中拥有多少条水平线，以及lon多少条垂直线。 r是球体的半径。

现在有lat / lon的双重迭代，并使用简单的三角函数计算顶点坐标。

计算出的顶点现在使用glVertex...()作为GL_QUAD_STRIP发送到您的GPU，这意味着您要发送形成四边形的每两个顶点，前两个顶点已发送。

现在您需要了解的是三角函数的工作原理，但我想您可以轻松搞清楚。

Answer 4

如果你想像狐狸一样狡猾，你可以将GLU的代码减半。查看MesaGL源代码（http://cgit.freedesktop.org/mesa/mesa/）。

Answer 5

参见OpenGL红皮书：http://www.glprogramming.com/red/chapter02.html#name8 它通过多边形细分解决了这个问题。

Answer 6

虽然接受的答案解决了这个问题，但最后还是有一点误解。 十二面体是（或可能是）正多面体，其中所有面具有相同的面积。这似乎是Epcot的情况（顺便说一句，它根本不是 dodecahedron ）。由于@Kevin提出的解决方案没有提供这个特性，我想我可以添加一种方法。

生成N面多面体的好方法，其中所有顶点位于同一个球体和中，其所有面具有相似的面积/表面，从二十面体开始，迭代细分和标准化它的三角形面（如接受的答案所示）。例如，十二面体实际上是truncated icosahedrons。

Regular icosahedrons有20个面（12个顶点），可以很容易地用3个金色矩形构建;这只是将其作为起点而不是八面体的问题。您可以找到示例here。

我知道这有点偏离主题，但我相信如果有人到这里寻找这个具体案例，这可能会有所帮助。

Answer 7

我的例子如何使用＆＃39;三角形条带＆＃39;画一个＆＃34;极地＆＃34;球体，它包括成对绘制点：

const float PI = 3.141592f;
GLfloat x, y, z, alpha, beta; // Storage for coordinates and angles        
GLfloat radius = 60.0f;
int gradation = 20;

for (alpha = 0.0; alpha < GL_PI; alpha += PI/gradation)
{        
    glBegin(GL_TRIANGLE_STRIP);
    for (beta = 0.0; beta < 2.01*GL_PI; beta += PI/gradation)            
    {            
        x = radius*cos(beta)*sin(alpha);
        y = radius*sin(beta)*sin(alpha);
        z = radius*cos(alpha);
        glVertex3f(x, y, z);
        x = radius*cos(beta)*sin(alpha + PI/gradation);
        y = radius*sin(beta)*sin(alpha + PI/gradation);
        z = radius*cos(alpha + PI/gradation);            
        glVertex3f(x, y, z);            
    }        
    glEnd();
}

输入的第一个点（glVertex3f）如下是参数方程式，第二个点移动了一个α角度步骤（从下一个平行）。

Answer 8

一种方法是制作一个面向相机的四边形，并编写一个顶点和片段着色器，呈现看起来像球体的东西。您可以使用可在互联网上找到的圆/球的方程式。

一个好处是球体的轮廓从任何角度看都是一样的。但是，如果球体不在透视图的中心，那么它看起来可能更像椭圆。你可以计算出这个方程并将它们放在片段着色中。然后，如果你确实让一个玩家在球体周围的3D空间中移动，则需要在玩家移动时改变灯光阴影。

任何人都可以评论他们是否尝试过这种做法，或者它是否过于昂贵而不实用？

Answer 9

struct v3
{
    double x,y,z;
    v3(double _x=0, double _y=0, double _z=0){x=_x;y=_y;z=_z;  }
    v3   operator +  ( v3 v)     {return { x+v.x, y+v.y, z+v.z };}
    v3   operator *  ( double k) {return { x*k, y*k, z*k };}
    v3   operator /  ( double k) {return { x/k, y/k, z/k };}
    v3 normalize(){
       double L=sqrt( x*x+y*y+z*z);
       return { x/L , y/L , z/L };}
};

void draw_spheree(double r,int adim)
{

    //              z
    //              |
    //               __
    //             /|          
    //              |           
    //              |           
    //              |    *      \
    //              | _ _| _ _ _ |    _y
    //             / \c  |n     /                    a4 --- a3
    //            /   \o |i                           |     |
    //           /     \s|s      z=sin(v)            a1 --- a2
    //         |/__              y=cos(v) *sin(u)
    //                           x=cos(v) *cos(u) 
    //       /
    //      x
    //

    //glEnable(GL_LIGHTING);
    //glEnable(GL_LIGHT0);
    //glEnable(GL_TEXTURE_2D); 

    double pi=3.141592;
    double d=pi/adim;

    for(double u=-pi  ; u<pi  ; u+=d)   //horizonal  xy düzlemi     Longitude -180  -180
    for(double v=-pi/2; v<pi/2; v+=d)   //vertical   z aks          Latitude  -90     90
    {
        v3  a1 = {  cos(v)*cos(u)       ,cos(v)*sin(u)      ,sin(v)     },
            a2 = {  cos(v)*cos(u+d)     ,cos(v)*sin(u+d)    ,sin(v)     },
            a3 = {  cos(v+d)*cos(u+d)   ,cos(v+d)*sin(u+d)  ,sin(v+d)   },
            a4 = {  cos(v+d)*cos(u)     ,cos(v+d)*sin(u)    ,sin(v+d)   };

        v3 normal=(a1+a2+a3+a4)/4.0;   //normal vector

        a1=a1*r;
        a2=a2*r;
        a3=a3*r;
        a4=a4*r;

        double tu=(u+pi)  / (2*pi);  //0 to 1  horizonal
        double tv=(v+pi/2)/ pi;      //0 to 1  vertical

        double td=1.0/2./adim;

        glNormal3dv((double *)&normal);

        glBegin(GL_POLYGON);
            glTexCoord2d(tu    ,tv      ); glVertex3dv((double *) &a1);
            glTexCoord2d(tu+td ,tv      ); glVertex3dv((double *) &a2);
            glTexCoord2d(tu+td ,tv+2*td ); glVertex3dv((double *) &a3);
            glTexCoord2d(tu    ,tv+2*td ); glVertex3dv((double *) &a4);
        glEnd();                
    } 
 }

Answer 10

@Constantinius答案的Python改编：

lats = 10
longs = 10
r = 10

for i in range(lats):
    lat0 = pi * (-0.5 + i / lats)
    z0 = sin(lat0)
    zr0 = cos(lat0)

    lat1 = pi * (-0.5 + (i+1) / lats)
    z1 = sin(lat1)
    zr1 = cos(lat1)

    glBegin(GL_QUAD_STRIP)
    for j in range(longs+1):
        lng = 2 * pi * (j+1) / longs
        x = cos(lng)
        y = sin(lng)

        glNormal(x * zr0, y * zr0, z0)
        glVertex(r * x * zr0, r * y * zr0, r * z0)
        glNormal(x * zr1, y * zr1, z1)
        glVertex(r * x * zr1, r * y * zr1, r * z1)

    glEnd()