Question

我正在编写一个程序，我只需知道第一个k（k可以是1-5之间的任何位置）的另一个大数字的数字，可以表示为n ^ n，其中n是一个非常大的数字。

目前我实际上在计算n ^ n，然后将其解析为字符串。我想知道是否存在更快更好的方法。

Answer 1

有两种可能性。

如果你想要前k个前导数字（如：12345的前导数字是1），那么你可以使用这个事实

n^n = 10^(n*Log10(n))

所以你计算f的小数部分n*Log10(n)，然后10^f的前k个数字就是你的结果。如果使用双精度，则在舍入错误开始之前，这适用于最大约10 ^ 10的数字。例如，对于n = 2^20，f = 0.57466709...，10^f = 3.755494...，您的前5位数字为37554.对于n = 4，f = 0.4082...，10^f = 2.56所以您的第一个数字是2。

如果你想要前k个尾随数字（如：12345的尾随数字是5），那么你可以使用模运算。我会用平方法：

factor = n mod 10^k
result = 1
while (n != 0) 
    if (n is odd) then result = (result * factor) mod 10^k
    factor = (factor * factor) mod 10^k
    n >>= 1

再次以n = 2 ^ 20为例，我们发现result = 88576。对于n = 4，我们有factor = 1, 4, 6和result = 1, 1, 6，所以答案是6。

Answer 2

如果您指的是最不重要或最右边的数字，可以使用模乘法来完成。它的O（N）复杂度并且不需要任何特殊的bignum数据类型。

#include <cmath>
#include <cstdio>

//returns ((base ^ exponent) % mod)
int modularExponentiation(int base, int exponent, int mod){
    int result = 1;
    for(int i = 0; i < exponent; i++){
        result = (result * base) % mod;
    }
    return result;
}

int firstKDigitsOfNToThePowerOfN(int k, int n){
    return modularExponentiation(n, n, pow(10, k));
}

int main(){
    int n = 11;
    int result = firstKDigitsOfNToThePowerOfN(3, n);
    printf("%d", result); 
}

这将打印611,11 ^ 11 = 285311670611的前三位数。

此实现适用于N小于sqrt（INT_MAX）的值，这些值会有所不同，但在我的机器和语言上它会超过46,000。

此外，如果您的INT_MAX小于（10 ^ k）^ 2，则可以更改modularExponentiation以处理任何适合int的N：

int modularExponentiation(int base, int exponent, int mod){
    int result = 1;
    for(int i = 0; i < exponent; i++){
        result = (result * (base % mod)) % mod; //doesn't overflow as long as mod * mod < INT_MAX
    }
    return result;
}

如果O（n）时间不足，我们可以利用取幂的性质A ^（2 * C）=（A ^ C）^ 2，并获得对数效率。

//returns ((base ^ exponent) % mod)
int modularExponentiation(int base, int exponent, int mod){
    if (exponent == 0){return 1;}
    if (exponent == 1){return base % mod;}
    if (exponent % 2 == 1){
        return ((base % mod) * modularExponentiation(base, exponent-1, mod)) % mod;
    }
    else{
        int newBase = modularExponentiation(base, exponent / 2, mod);
        return (newBase * newBase) % mod;
    }
}

有没有快速的方法来确定n ^ n上的前k个数字

2 个答案: