将三维角度划分为相等的数量

Question

假设您有一个2d物体，您可以通过简单地以15度为增量围绕中心旋转将其分成15度旋转。

如果我想计算3d对象的所有角度，每个角度之间的间距相等，我将如何进行此操作。

虽然为每个人做p * r * y会起作用但是它相当随意并且有很多重叠。我也非常喜欢四元数解决方案。

我正在为一个我目前正在进行的视频游戏项目做这件事，基本上是一个旧学校的飞行模拟游戏，尽管游戏中的3d渲染为2d精灵。我正在寻找一种简单的方法，以相同的间隔角度（包括每个正交的角度）在程序上渲染我的飞机模型的所有可能角度。

Answer 1

有多种方法可以做到这一点;解决方案不是根据给定的信息唯一定义的。还要注意，短语“所有可能的角度”都具有误导性，因为它有无限的角度。

然而，如果通过“3d角度”，你的字面意思是solid-angle（以球面度数为单位），那么platonic solids将球体分成相等的立体角。 （从技术上讲，你想要spherical polyhedra，但它们“几乎”是相同的，因为我们可以采取多面体解决方案并“放松”它。）

请记住你想要“ [包括]每个正交[角度] ”的条件（应该有一些彼此正交的三重视图），我们很难过注意到只有一种满足这个要求的柏拉图固体，即八面体：

可悲的是，这只对应于正交视图（并且只有那些视图）。这将是无聊的，可能不是你想要的。然而，你可以做的是建立在这个解决方案的基础上，并细分八面体。这有两种可能性：

1. 对于八面体中的每个面，您可以在该面的中心创建一个新视图（星形）。结果将是this 4-view origami中所示的每个顶点的视图（奇怪的是我能找到的最佳图片）。因此，除了正交角度之外，您还可以在每个轴之间获得8个角度，形式为(±1,±1,±1)。将视图数量保持在可管理的大小。

2. 如果你想要更多的视图，除了从八面体而不是二十面体开始之外，你可以做一些像构建测地圆顶的事情。在第一个例子中，我们将三角形面细分为细分幂的“三角形”，以获得“双频八面体测地球”。

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* original link

算法：取每个相邻顶点的数学平均值来产生新的顶点。

这可能无法完美地划分角度，但它会相当接近。如果您想要更加“相等”的立体角，请参阅链接以获取“3频八面体测地球”的示例。

算法：对于第一个近似，您可以通过取矢量(A+2B)/3来改变角度，反之亦然。如果你进一步寻求极高的精度，而不是明确地计算方程，你可以使用四面体的立体角公式作为精度的度量，并在初始猜测上执行relaxation，在那里你慢慢扰乱三分法朝向或远离原点。

此外，Google搜索结果在数学上有点密集，但您可以从equal area spherical polyhedra中收集一些用途。