Question

以下是此问题的说明：

给你两个整数a和b。您希望找到将a转换为b所需的最短操作序列，在每一步中您可以添加或减去5,7或12。

例如，如果给出a = -5且b = 19，则最短路径为

-5 + 12 + 12 = 19

如果给你1和3，最短的路径将是

1 + 7 - 5 = 2

我能想到解决这个问题的唯一方法是使用BFS，也许还有一些修剪。我可以使用更好的算法吗？

谢谢！

Answer 1

让我们从一系列有趣的观察开始。正如许多其他人所指出的，目标是找到一些线性组合5x + 7y + 12z = b - a，其整数系数使得| x | + | y | + | z |最小化。但是我们可以利用这三个数字之间存在一些非常有趣的联系：

如果我们有一个组合5x + 7y + 12z，其中x和y都是正数或者都是负数，我们可以取消一些x和y来添加相当数量的12s。换句话说，没有最优解决方案在x和y上都有相同的符号，因为我们总能使这个解决方案更好。
如果我们有一个组合5x + 7y + 12z，其中y和z有相反的符号，我们总是可以移除7和12并添加5个相应的符号以获得更好的解决方案。类似地，如果x和z具有相反的符号，我们总是可以移除5和12并添加7个适当的符号。这意味着我们永远不需要考虑z与x或y具有相同符号的任何解决方案，因为这意味着必须有更好的解决方案。

让我们考虑（1）和（2）共同告诉我们的内容。（1）说x和y上的符号不能相同，因为我们总能做得更好。（2）说如果x和z有相反的符号或y和z有相反的符号，我们总是可以做得更好。总的来说，这意味着

引理：在最优解中，x，y或z中至少有一个必须为零。

要看到这一点，如果所有三个都非零，如果x和y具有相同的符号，那么我们可以通过将它们替换为12来明确地使解决方案更好。否则，x和y具有相反的符号。因此，如果x和z有不同的符号，通过（2）我们可以用更少的7代替它们，否则y和z有不同的符号，并且（2）我们可以用更少的5代替它们。

好的，这真的很棒！这意味着我们只需要求解这三个整数方程并找出哪一个具有最小的系数之和：

5x + 7y = b - a
5x + 12z = b - a
7y + 12z = b - a

幸运的是，通过Bezout's identity，因为gcd（5,7）= gcd（5,12）= gcd（7,12）= 1，所有这些方程组都有一个解决任何b值的解 - a。

现在，让我们看看如何解决这些方程式。幸运的是，我们可以使用一些可爱的技巧来大大减少我们的搜索空间。例如，对于5x + 7y = b - a，x的值不能超出[-6，+ 6]，因为如果是，我们可以用5个7替换5个中的7个。这意味着我们可以通过以下方式解决上述等式：

对于x = -6到+6，看看5x + 7y = b - a是否通过计算（b-a）得到整数解 - 5x并查看它是否可被7整除。如果是这样，解决问题所需的步骤数由| x |给出+ |（（b - a） - 5x）/ 7 |。

我们可以使用类似的技巧来解决后两个方程式 - 对于第二个方程式，x的范围从-11到+11，而第三个y的范围从-11到+11。然后我们可以从所有三个方程中得到最佳答案，看看答案是什么。

这是一些伪代码来记录尽可能少的步骤。通过记录使用哪种解决方案然后将其扩展到完整路径，可以轻松修改这些步骤以返回这些步骤：

Let best = infinity

# Solve 5x + 7y = b - a
for x = -6 to +6:
    if ((b - a) - 5 * x) mod 7 = 0:
        best = min(best, |x| + |((b - a) - 5 * x) / 7|)

# Solve 5x + 12y = b - a
for x = -11 to +11:
    if ((b - a) - 5 * x) mod 12 = 0:
        best = min(best, |x| + |((b - a) - 5 * x) / 12|)

# Solve 7x + 12y = b - a
for x = -11 to +11:
    if ((b - a) - 7 * x) mod 12 = 0:
        best = min(best, |x| + |((b - a) - 7 * x) / 12|)

return best;

这种算法非常快 - 它在O（1）时间内运行，因为解决每三个线性系统所需的迭代次数是一个常数（最多23次）。它只需要O（1）内存来保存可能的值，我认为在实践中它可能是你能够编写的最快的算法。

希望这有帮助！

Answer 2

问题等同于获取号码a-b。或者abs(a-b)，因为它在零附近是对称的。我认为采用dynamic programming可以轻松完成。例如，以最快的方式获得23是获得23+5,23-5,23+7,23-7,23+12或23-12加上一个操作的最快方法。如果您在开始条件上应用了几次（费用为+ 5，-5，..为1，其他为无限），您将在O(a-b)中得到答案。

Answer 3

你需要解决5x + 7y + 12z = b-a。这样| x | + | y | + | z |是最低的。也许有一种直截了当的数学方法。也许这会有所帮助：http://mathforum.org/library/drmath/view/66870.html

Answer 4

我想你可以查看Subset Sum Problem的想法。

Answer 5

预先计算第一个最小范围所需的操作，之后只需加上+12的倍数。

Answer 6

将所有操作组合预先计算到哈希映射中，然后只需查看答案。

预计算步骤需要时间，但一旦完成，您就可以找到预先计算范围内的1个查找操作的答案。

这是一个小型JavaScript演示：

// maximum depth of combos to try
var MAX = 6;
// possible operations
var ops = ["+-5", "+5", "+-7", "+7", "+-12", "+12"];
// initial hash map of operations->value
var all = {"+5":5, "+-5":-5, "+7":7, "+-7":-7, "+12":12, "+-12":-12};
var allcnt = 6; // count combos *not needed*
// initial hash map of values->operations, plus "0" so we can avoid it
var unique = {"0": "0", "5":"+5", "-5":"+-5", "7":"+7", "-7":"+-7", "12":"+12", "-12":"+-12" };
var ready = false;
// get all useful combinations of ops
function precalc() {
  var items = [];
  for(var p in all) {
     items.push(p);
  }
  for(var p=0; p<items.length; p++) {
    for(var i=0; i<ops.length; i++) {
      var k = items[p] + ops[i];
      var v = eval(k);
      if(unique[v] == null) {
        unique[v] = k;
        all[k] = v;
        allcnt++;
      }
    }
  }
}
// find an answer within the pre-calc'd depth
function find(a, b) {
  if(ready === false) {
    for(var i=0; i<MAX; i++) precalc();
    ready = true;
  }
  return unique[""+Math.abs(a-b)];
}
// test
find(-5,19);

通过加或减两个整数之间的最短路径

6 个答案: