在线段上找到距离另一个点的指定距离的坐标的最佳方法

Question

问题图片：

在我的代码中，我有4分：Q，R，S，T。

我知道以下

• R，T和S;
的坐标
• 该段RT < RQ < RS;
• 我需要找出Q。
的坐标

我已经知道点Q可以在线段TS上找到。但是我需要获取Q和I的坐标，这需要它是一个相对有效的计算。

对于这个问题，我有几个解决方案，但它们都是如此令人费解，我知道我必须做错事。我确信必须有一种简单优雅的方法来解决这个问题。最好的解决方案是最大限度地减少更密集计算的数量，但这也不会太长。

Answer 1

Q是围绕R的半径d的圆与线TS之间的交叉点，这导致具有系数中的多个参数的二次方程。我不知道以下是否是“最好的”解决方案（在它们之间使用数值解算器甚至可能更好），但它完全解决了。因为我认为它更具可读性，所以我改变了坐标名称，将T置于（T1，T2），S置于（S1，S2），为了使公式更短，R为（0,0） - 只需调整S和T以及相应的返回值。

tmp1 = S1^2 - S2*T2 - S1*T1 + S2^2;
tmp2 = sqrt(- S1^2*T2^2 + S1^2*d^2 + 2*S1*S2*T1*T2 - 2*S1*T1*d^2 -
      S2^2*T1^2 + S2^2*d^2 - 2*S2*T2*d^2 + T1^2*d^2 + T2^2*d^2);
tmp3 = S1^2 - 2*S1*T1 + S2^2 - 2*S2*T2 + T1^1 + T2^2;
t = (tmp1 + tmp2)/tmp3;
if (0 > t || t > 1) {
  // pick the other solution instead
  t = (tmp1 - tmp2)/tmp3;
}
Q1 = S1+t*(T1-S1);
Q2 = S2+t*(T2-S2);

显然，我不保证我没有拼写错误等等： - ）

编辑：或者，你也可以通过一些迭代方法（比如牛顿）得到一个很好的近似值来找到dist(S+t*(T-S), R)-d的零，作为[0,1]中t的函数。如果我算得正确的话，那将需要 9次七次乘法和每牛顿步骤一次除法。重新使用上面的名称，看起来像这样：

t = 0.5;
d2 = d^2;
S1T1 = S1 - T1;
S2T2 = S2 - T2;
do {
  tS1T1 = S1 - t*S1T1;
  tS2T2 = S2 - t*S2T2;
  f = tS1T1*tS1T1 + tS2T2*tS2T2 - d2;
  fp = 2*(S1T1*tS1T1 + S2T2*tS2T2);
  t = t + f/fp;
} while (f > eps);

设置eps以控制所需的精度，但不要将其设置得太低 - 计算f确实涉及减法，在解决方案附近会出现严重的取消问题。

Answer 2

由于（TS）线上有两个解决方案Q（T和S之间只有一个解决方案），任何解决方案可能都需要选择符号或arccos（）等。

因此，一个好的解决方案可能是将Q放在（TS）线上（如图所示）：

(1)   TQ(t) = t * TS

（其中O是某些来源）。要求Q与R的距离d给出t中的二次方程，这很容易解决（同样，也暗示了向量）：

d^2 = |RQ(t)|^2 = |RT + TQ(t)|^2

然后，通过将解t0置于等式（1）中，经由OQ（t0）= OT + TQ（t），可以获得Q的坐标。必须选择解0 <= t <= 1，使得Q位于T和S之间。

现在，可能会发生最终公式在三角函数方面有一些简单的解释......也许你可以告诉我们t的值是什么，你用这种方法找到什么坐标，我们可以找一个更简单的公式？