用较小的2D基于图块的形状填充非矩形2D图块空间的算法

Question

我试图弄清楚如何编写算法（在C＃中），当给出时：

• 一组通常较小的基于图块的形状。通常为2x2，但并非总是如此。有时形状为2x1或非矩形。

• 一个tilemap（二维数组），其中某些tile被标记为“free”，而某些tile被“保留”。免费瓷砖指定允许使用基于图块的形状的区域，保留的瓷砖不能被形状占用。

除2x2s以外的基于图块的形状示例： http://img850.imageshack.us/img850/9057/awk.png

tilemap中“可用空间”的示例： http://img641.imageshack.us/img641/8263/spaceh.png

• 此图像中的白色表示要填充的空间，但我希望算法能够正常工作，如果灰色是要填充的空间并保留白色。

基本上，算法应将形状放在可用空间中，偏向顶部。它提出的解决方案不一定是“完美的”，但它应该总是能够找到解决方案（如果存在的话）。另外，我真的想避免在此算法中使用任何伪随机数。我希望它总是在给定相同输入的情况下找到相同的解决方案，即使该解决方案不是最好的解决方案。

我找到了与此相关的其他主题，但所有这些都与填充矩形空间而不是任意空间有关。

编辑：哦，形状可以水平和/或垂直翻转，但不能旋转。忘了提这个。

EDIT2：让我澄清一下。我不希望空间被填充，我想确定形状应该在哪里给出有限数量的空间。它们应该默认为顶部。

Answer 1

Knuth写了一篇名为“Dancing Links”的论文，例如在http://arxiv.org/pdf/cs.DS/0011047关于简化版本的回溯搜索。他用它来例如用polyonimoes平铺一架飞机。我的猜测是，这可以用来解决你的问题 - 需要付出一些代价。我怀疑如果存在一个非常通用的方法来解决你的问题，它也可以应用于Knuth，这使得它不太可能被找到。当然，你的形状比Knuth更简单，所以也许有一些方法特别适合你的问题而且效率更高。

Answer 2

正如templatetypedef所怀疑的那样，通过减少平面1-in-3 SAT来解决这个问题。

除非您希望所有可能的解决方案和形状不重复，否则跳舞链接是不合适的。假设你想要一个形状可以重复的解决方案，并且实例不比你的样本大，我建议动态编程。要平铺特定空间，将其划分为三个子空间A，B，C，使得A和C非空，并且没有放置可以同时重叠A和C.尝试最小化B的大小。对于B的每个子集S（它们的所有2 ^{| B |} ），递归地尝试覆盖A联合S并且单独地，C联合（B减去S）。如果找到相同S的解决方案，则可以将它们组合。否则，没有解决方案。用蛮力处理基础箱。