Question

例如：1,2,4,5有以下总和：

1,2,4,5

-3,6,9-

7,11

12

并且每笔款项都是独一无二的。

现在，1,2,3有以下总和：

1,2,3

3,5

6

并且显然不是每个总和都是独一无二的。

是否有任何有效的方法来生成与第一个示例类似的序列，目标是尽可能小地选择每个数字（不仅仅是1,2,4,8,16 ......）？我知道我可以编写一个程序来强制执行这个程序，但我只是好奇它能以更好的方式完成。

Answer 1

我认为你在这里寻找的是Golomb Ruler。如果你将上面描述的数字作为标记之间的距离，你就已经描述了一个Golomb标尺。当标尺上的标记集没有重复时，正如您所描述的那样，这就是使它成为Golomb标尺的原因。

描述Golomb标尺的标准方法似乎是通过表示每个标记的位置，而不是它们之间的距离。因此，您的1,2,4,5将被描述为Golomb Ruler 0-1-3-7-12。

引用维基百科：

目前，查找任意顺序n的OGR的复杂性（其中 n在一元中给出）是未知的。在过去有一些推测这是一个NP难问题。与此相关的问题可以证明Golomb统治者的建造是NP难的，其中还注意到，没有已知的NP完全问题具有类似的风味寻找哥伦布统治者。

Answer 2

Seen <- emtpy set  # Sums seen so far
Open <- empty set  # Sums ending at the last element
for x from 1 to Limit do
    if x in Seen then
        # quick fail
        continue with next x
    end
    # Build new set
    Pending <- empty set
    add x to Pending
    for each s in Open do
        add (s+x) to Pending
    end
    # Check if these numbers are all unique
    if (Pending intersection Seen) is empty then
        # If so, we have a new result
        yield x
        Open <- Pending
        Seen <- Seen union Pending
    end
end

它查看到目前为止看到的所有总和，以及在最后一个元素结束的总和。没有必要跟踪开始和结束位置。

如果 n 是Limit的值，则此算法将采用 O（n ² log n），假设已设置成员检查和插入是 O（log n），并且交集/联合不慢于 O（n log n）。

（虽然我可能在最后的假设上弄错了）

前几个值是：

1, 2, 4, 5, 8

如何用任何连续数的唯一和构造一个正整数序列？

2 个答案: