Question

我对各种图算法的讨论，我看到术语“路径矩阵”和“传递闭包”在任何地方都没有明确定义。

对于有向图和无向图，“Path Matrix”和“Transitive Closure”是什么意思？

Answer 1

我认为unkulunkulu的答案非常完整，但鉴于JMSA似乎unsatisfied，我会再次尝试。

让我们不要使用路径矩阵，而应使用 adjacency matrix 。邻接矩阵是图的标准表示。如果 adj 是某个图 G 的邻接矩阵，那么 adj [i] [j] == 1 如果顶点 i 与顶点 j 相邻（即从 i 到 j 有一条边），并且<强> 0 否则。换句话说， adj [i] [j] == 1 当且仅当我们能够从顶点 i 到顶点 j 时才能到达< em> one “step”。

现在，让我们定义另一个矩阵，我将其称为 adj2 ： adj2 [i] [j] == 1 当且仅当我们可以从顶点获取<在两个步骤或更少的步骤中强> i 到顶点 j 。您可以将其称为“两步邻接”矩阵。重要的是 adj2 可以用 adj 来定义：

def adj2(i,j):
    if adj(i,j) == 1:
        return 1
    else:
        for k in range(0,n): # where n is the number of vertices in G
            if adj(i,k) == 1 and adj(k,j) == 1:
                return 1
    return 0

即 adj2 [i] [j] 1 ，如果 i 与 j 相邻（即 adj [i] [j] == 1 ）或者是否存在其他顶点 k ，以便您可以从步进我到 k 然后从 k 到 j （即 adj [i] [j] == 1和adj [k] [j] == 1 ）。

您可以想象，您可以使用相同的逻辑来定义“三步”邻接矩阵 adj3 ， adj4 ， adj5 ，等等。如果你持续足够长的时间（例如 adjn ，其中 n 是图中顶点的数量），你会得到一个矩阵，告诉你是否有一条路径< em>任何长度从顶点 i 到顶点 j 。当然，这也是图的路径矩阵： adjn [i] [j] == path [i] [j]对于所有i，j 。（注意：不要将路径矩阵与distance matrix混淆。）

数学家会说 path [i] [j] 是图 G adj [i] [j] 的传递闭包强>

传递闭包独立于图论; adj 并不是唯一具有传递闭包的东西。粗略地说，所有functions (in the programming sense) that take two arguments and return a Boolean value都有一个传递闭包。

等式（==）和不等式（＆lt;，＆gt;，＆lt; =，＆gt; =）运算符是此类函数的常见示例。这些与 adj 不同，因为它们本身就是 transitive 。 “ f（i，j）是传递性的”意味着如果 f（i，j）== true ，并且 f（j，k）== true ，然后 f（i，k）== true 。你知道这个属性是，例如，“小于”关系：来自 a＆lt; b 和 b＆lt; c ，你可以推断 a＆lt; ç即可。传递函数 f 的传递闭包只是 f 。

adj 不是通常传递。考虑图表：

v1---v2---v3

在此图表中， adj 可能代表函数 busBetween（city1，city2）。在这里，您可以从v1到v2（ adj [1] [2] == 1 ）和从v2到v3的总线（ adj [2] [3] = = 1 ），但是从v1直接到v3（ adj [1] [2] == 0 ）没有总线。从v1到v3有一条总线路径，但v1和v3不是总线相邻的。对于此图， adj 不具有传递性，因此路径（ adj 的传递闭包）与 adj

如果我们在v1和v3之间添加边缘，

v1---v2---v3 \ / \----/

然后 adj 变得具有传递性：在每种可能的情况下， adj [i] [j] == 1 和 adj [j] [k] == 1 暗示 adj [i] [k] == 1 。对于此图表，路径和 adj 是相同的。图表是无向的，对应于“symmetry”属性。如果我们为每个顶点添加循环以使v1，v2和v3各自与它们相邻，则生成的图形将是可传递的，对称的，并且“reflexive”，可以说代表相等（==）在集合{1,2,3}。

这开始说明图表如何表示不同的函数，以及函数的属性如何反映在图的属性中。一般来说，如果你让 adj 代表某个函数 f ，那么路径是 f 的传递闭包。< / p>
关于传递闭包的正式定义，我建议您Wikipedia。一旦你理解了所有的数学术语，这不是一个难题。

Answer 2

图论中的

路径矩阵是一个大小为n*n的矩阵，其中n是图的顶点数。如果图表中有i个顶点到j的路径，则1行和i列上的元素为j，{ {1}}如果没有。

Floyd Algorithm通常用于计算路径矩阵。

该定义不区分有向图和无向图，但很明显，对于无向图，矩阵总是对称的。

Transitive Closure 是一个类似的概念，但它来自不同的领域。想象一下，你有一组对象，对于其中一些你知道一个对象肯定比另一个好，所以你可以写0（“＆gt;”是“更好”的简写）。绝对应该假设a > b 和 a > b然后b > c。这称为传递规则。然后对于你想知道的任何两个物体，它们中的一个是否比另一个好，或者它是未知的。这是闭包：首先你有一个可能不具有传递性的关系，但在假定传递性之后，你可以把它完成一个传递性的。

要解决此问题，您需要构建一个有向图，其中一个顶点对应于每个提到的对象（a > c，a，b等），其中有一个有向边{当且仅当c时才存在{1}}。然后你可以构造第一段中定义的路径矩阵，它会给你答案：显然，两个顶点之间的路径的存在等同于u -> v的关系链的存在，所以，通过传递性规则，u > v。

作为传递闭包的旁注，当您询问有向图和无向图时，给出的示例使用非对称关系（＆gt;），然后图表被指示，但情况并非总是如此。例如，任何等价关系总是满足传递性，但也必须满足对称性，因此相应的图是无向的。你可以找到对称关系（或图形）的传递闭包。

图表的“路径矩阵”和“传递闭包”是什么意思（定向和无向）？

2 个答案: