将 DAG 转换为二叉树

Question

我正在尝试将 DAG 转换为二叉树。考虑下图

我想为上面的树提供以下输出。

由于 A、B、C、E 形成一个菱形，要将其转换为一棵树，我需要将 B 和 C 移动成一条线。

我尝试了以下操作：

1. 拓扑排序：输出是 A -> D -> B -> C -> E -> F。
2. 拓扑排序顺序：A -> [B,C,D] -> E -> F

拓扑路径为我们提供了一条直线路径。但是，如果可能，我想保留序列，即 A -> D。但是，如果有一个菱形，我希望一个节点只有一个父节点并且对这些父节点进行排序。

对于上述情况，有没有办法从 DAG 生成一棵树？

Answer 1

伪代码算法

 Run a topological sort on the graph

 For every node B, in reverse order of the topological sort:
    If B has more than one parent:
        Order its parents A1, A2, ..., An in the order of the topological sort
        For every i in 1..n-1:
            Add an arc from Ai to A(i+1)
            Remove the arc from Ai to B

正确性证明

• 算法总是终止，因为它是一个固定长度的循环；它的时间复杂度是 O(N^2)，其中 N 是节点数
• 紧接在给定节点 B 上的步骤之后，B 的父节点不超过一个
• 如果在给定节点 C 上的步骤已经执行，那么在拓扑顺序中位于 C 之前的节点 B 上执行步骤只会向在拓扑顺序中位于 C 之前的节点添加弧；因此，一旦执行了节点的步骤，它们就永远不会获得新的父节点。

这证明算法终止，并且每个节点在执行算法后至多有一个父节点。由于我们只从具有多个父节点的节点中删除父节点，因此我认为这也满足了您的问题。