Question

使用Mathematica我想根据from (1 + a + x + y)^4和x的指数收集字词y，所以

(1 + a + x + y)^4 = (...)x^0 y^0 + (...)x^1 y^0 + (...)x^0 y^1 + ...

Mathematica help有一个很好的例子，我试图模仿：

D[f[Sqrt[ x^2 + 1 ]], {x, 3}]
Collect[%, Derivative[ _ ][ f ][ _ ], Together]

这收集相同订单的衍生条款（以及f的相同参数）

有谁可以解释为什么以下模仿不起作用？

Collect[(1 + a + x + y)^4, x^_ y^_]

给出

(1 + a + x + y)^4

对解决方案的任何建议？

Answer 1

根据Sasha，您必须Expand多项式才能使用Collect。然而，即使这样，问题也不是那么简单。使用Collect，您可以按两个变量分组，但这取决于您的订购方式：

In[1]:= Collect[ (1 + a + x + y)^4 // Expand, {x, y}]
Out[1]:= 1 + 4 a + 6 a^2 + 4 a^3 + a^4 + x^4 + 
         (4 + 12 a + 12 a^2 + 4 a^3) y + (6 + 12 a + 6 a^2) y^2 + 
         (4 + 4 a) y^3 + y^4 + x^3 (4 + 4 a + 4 y) + 
         x^2 (6 + 12 a + 6 a^2 + (12 + 12 a) y + 6 y^2) + 
         x (4 + 12 a + 12 a^2 + 4 a^3 + (12 + 24 a + 12 a^2) y + 
         (12 + 12 a) y^2 + 4 y^3)

它会导出x的任何公因子，从而导致y中的多项式系数。如果您使用的是{y,x}，Collect会提取y的公共因子，并且x中有多项式。

或者，您可以提供一种模式x^_ y^_而不是{x,y}，但至少在第7版中，这不会收集任何内容。问题是模式x^_ y^_需要存在指数，但在x y^2和x^2 y这样的术语中，指数隐含在至少一个变量中。相反，我们需要指定default值是可接受的，即使用x^_. y^_.给出

Out[2]:= 1 + 4 a + 6 a^2 + 4 a^3 + a^4 + 4 x + 12 a x + 12 a^2 x + 4 a^3 x + 
         6 x^2 + 12 a x^2 + 6 a^2 x^2 + 4 x^3 + 4 a x^3 + x^4 + 4 y + 
         12 a y + 12 a^2 y + 4 a^3 y + (12 + 24 a + 12 a^2) x y + 
         (12 + 12 a) x^2 y + 4 x^3 y + 6 y^2 + 12 a y^2 + 6 a^2 y^2 + 
         (12 + 12 a) x y^2 + 6 x^2 y^2 + 4 y^3 + 4 a y^3 + 4 x y^3 + y^4

但是，这只收集两个变量都存在的术语。说实话，我似乎无法想出一个能让Collect功能像你想要的模式，但我找到了另一种选择。

我会使用CoefficientRules代替，虽然它确实需要一些后期处理才能将结果恢复为多项式形式。使用多项式，你得到

In[3]:= CoefficientRules[(1 + a + x + y)^4, {x, y}]
Out[3]:= {{4, 0} -> 1, {3, 1} -> 4, {3, 0} -> 4 + 4 a, {2, 2} -> 6, 
          {2, 1} -> 12 + 12 a, {2, 0} -> 6 + 12 a + 6 a^2, {1, 3} -> 4, 
          {1, 2} -> 12 + 12 a, {1, 1} -> 12 + 24 a + 12 a^2, 
          {1, 0} -> 4 + 12 a + 12 a^2 + 4 a^3, {0, 4} -> 1, {0, 3} -> 4 + 4 a, 
          {0, 2} -> 6 + 12 a + 6 a^2, {0, 1} -> 4 + 12 a + 12 a^2 + 4 a^3, 
          {0, 0} -> 1 + 4 a + 6 a^2 + 4 a^3 + a^4}

现在，如果你只对系数本身感兴趣，那么你已经完成了。但是，要将其转换回多项式，我会使用

In[4]:= Plus @@ (Out[3] /. Rule[{a_, b_}, c_] :> x^a y^b c)
Out[4]:= 1 + 4 a + 6 a^2 + 4 a^3 + a^4 + 
         (4 + 12 a + 12 a^2 + 4 a^3) x + 
         (6 + 12 a + 6 a^2) x^2 + (4 + 4 a) x^3 + x^4 + 
         (4 + 12 a + 12 a^2 + 4 a^3) y + (12 + 24 a + 12 a^2) x y + 
         (12 + 12 a) x^2 y + 4 x^3 y + (6 + 12 a + 6 a^2) y^2 + 
         (12 + 12 a) x y^2 + 6 x^2 y^2 + (4 + 4 a) y^3 + 
         4 x y^3 + y^4

编辑：在考虑之后，还有一个可以完成的简化。由于系数是a中的多项式，因此它们可以是可分解的。因此，我们使用CoefficientRules来简化：

，而不是直接使用Factor提供的内容

In[5]:=  Plus @@ (Out[3] /. Rule[{a_, b_}, c_] :> x^a y^b Factor[c])
Out[5]:= (1 + a)^4 + 4 (1 + a)^3 x + 6 (1 + a)^2 x^2 + 4 (1 + a) x^3 + x^4 + 
         4 (1 + a)^3 y + 12 (1 + a)^2 x y + 12 (1 + a) x^2 y + 4 x^3 y + 
         6 (1 + a)^2 y^2 + 12 (1 + a) x y^2 + 6 x^2 y^2 + 4 (1 + a) y^3 + 
         4 x y^3 + y^4

可以看出，使用Factor可以大大简化系数，并且可以通过将(1 + a + x + y)^4视为具有变量(1 + a)的简单三项式来预测此结果，{{ 1}}和x。考虑到这一点并将y替换为1+a，z然后给出：

CoefficientRules

或者，以多项式形式

In[6]:= CoefficientRules[(z + x + y)^4, {x, y, z}]
Out[6]:= {{4, 0, 0} -> 1, {3, 1, 0} -> 4, {3, 0, 1} -> 4, 
          {2, 2, 0} -> 6, {2, 1, 1} -> 12, {2, 0, 2} -> 6, 
          {1, 3, 0} -> 4, {1, 2, 1} -> 12, {1, 1, 2} -> 12, 
          {1, 0, 3} -> 4, {0, 4, 0} -> 1, {0, 3, 1} -> 4, 
          {0, 2, 2} -> 6, {0, 1, 3} -> 4, {0, 0, 4} -> 1}

当您使用Out[7]:= x^4 + 4 x^3 y + 6 x^2 y^2 + 4 x y^3 + y^4 + 4 x^3 z + 12 x^2 y z + 12 x y^2 z + 4 y^3 z + 6 x^2 z^2 + 12 x y z^2 + 6 y^2 z^2 + 4 x z^3 + 4 y z^3 + z^4替换z时，会在(1 + a)中显示相同的结果。

Answer 2

Collect是结构操作，因此您需要先扩展。

Collect[(1 + a + x + y)^4 // Expand, x^_ y^_]

Answer 3

这有效：

In[1]:= Collect[(1 + a + x + y)^4 // Expand, {x^_ y^_, x^_ y, x y^_, x y, x, y}]

Out[1]= 1 + 4 a + 6 a^2 + 
 4 a^3 + a^4 + (4 + 12 a + 12 a^2 + 4 a^3) x + (6 + 12 a + 6 a^2) x^2 + (4 + 
    4 a) x^3 + x^4 + (4 + 12 a + 12 a^2 + 4 a^3) y + (12 + 24 a + 
    12 a^2) x y + (12 + 12 a) x^2 y + 
 4 x^3 y + (6 + 12 a + 6 a^2) y^2 + (12 + 12 a) x y^2 + 
 6 x^2 y^2 + (4 + 4 a) y^3 + 4 x y^3 + y^4

或者，您可以按rcollyer：

的建议使用Default

In[2]:= Collect[(1 + a + x + y)^4 // Expand, {x^_. y^_., x, y}]

Out[2]= 1 + 4 a + 6 a^2 + 
 4 a^3 + a^4 + (4 + 12 a + 12 a^2 + 4 a^3) x + (6 + 12 a + 6 a^2) x^2 + (4 + 
    4 a) x^3 + x^4 + (4 + 12 a + 12 a^2 + 4 a^3) y + (12 + 24 a + 
    12 a^2) x y + (12 + 12 a) x^2 y + 
 4 x^3 y + (6 + 12 a + 6 a^2) y^2 + (12 + 12 a) x y^2 + 
 6 x^2 y^2 + (4 + 4 a) y^3 + 4 x y^3 + y^4

Answer 4

这可能就是你要找的东西

In[1]:= TraditionalForm[Collect[(1 + a + x + y)^4 // Expand, {x, y}], 
         ParameterVariables :> {a}]

Out[1]:= x^4+x^3 (4 y+4 a+4)+x^2 (6 y^2+(12 a+12) y+6 a^2+12 a+6)+
         x (4 y^3+(12 a+12) y^2+ (12 a^2+24 a+12) y+4 a^3+12 a^2+12 a+4)+
         y^4+(4 a+4) y^3+(6 a^2+12 a+6) y^2+(4 a^3+12 a^2+12 a+4) y+
         a^4+4 a^3+6 a^2+4 a+1

Answer 5

Plus @@ MonomialList [（1 + a + x + y）^ 4，{x，y}]

使用模式在Mathematica中收集术语

5 个答案: