从二进制到十进制是否有任何限制（就像从十进制到二进制一样）？

Question

众所周知，not all decimal numbers can be represented in binary（数字位数有限）。

我想知道，是否可以使用（有限数量的）十进制数字表示所有（有限）二进制数？我怀疑是这样，因为二进制（“0.5”，“0.125”等）中的所有“基元”都可以用有限数量的十进制数字表示。

所以，我的问题如下：“兼容的基础变化”的特征是什么？即，“ Base 2→Base 10 ”的数学属性是什么，但不适用于“ Base 10→Base 2 ”？

（正式提出：为了确保所有有限的Base-N数都具有相应的有限Base-M数， N 和 M 必须具有哪些属性？）

Answer 1

如果 n 是二进制分数，那么 n = a / 2 ^k for integers a 和 k 。

这意味着 n =（ a ·5 ^k ）/（2 ^k ·5 ^k ）=（ a ·5 ^k ）/ 10 ^k

所以每个二进制分数都是小数。

在一般情况下，当 N 除以时，基于 N 的每个分数也是 M 的分数。 M ^k 对于某些 k （或者，等效地，如果 N 的每个素因子也是 M 的主要因素。类似于我上面给出的2和10的参数处理“if”方向。对于“只有if”方向，这里有一个草图证明供您填写：假设1 / N = a / M ^k ，然后 M ^k = a · N ，因此 N 除以 M ^k 。

所以二进制可以转换为十进制而不会丢失，因为2是因子10，但十进制不能转换为二进制而没有丢失，因为5是因子10而不是因子2。