将变换矩阵拆分为orhhogonal矩阵和比例矩阵

Question

如果我有一个来自缩放，平移和旋转变换的矩阵。我想把这个矩阵分成两个矩阵。一个是旋转+平移矩阵，另一个是比例矩阵。

因为我想计算正确的法向量变换，所以我只需要正交矩阵来计算表面法向量

有什么想法吗？

Answer 1

  

如果我有一个来自缩放，平移和旋转变换的矩阵。我想把这个矩阵分成两个矩阵。一个是旋转+平移矩阵，另一个是比例矩阵。

我假设你所说的这个矩阵是一个4x4矩阵，被一些人广泛使用，被其他人广泛鄙视，第四行是0,0,0,1。

我将导致这两个操作“缩放”和“旋转+翻译”。注意：这些操作不是可交换的。缩放3向量，然后旋转/平移此缩放向量会产生与通过反转操作顺序得到的结果不同的结果。

案例1，操作是“旋转+翻译”，然后是“缩放”。
令SR = S * R，其中S是具有正对角线元素的3×3对角矩阵（缩放矩阵），并且R是3×3正交旋转矩阵。矩阵SR的行将彼此正交，但列不是正交的。比例因子是矩阵SR行的范数的平方根。

算法： 给定4×4矩阵A，产生4×4缩放矩阵S，4×4旋转+平移矩阵T

A = [  SR(3x3)  Sx(3x1) ]
    [   0(1x3)     1    ]

1. 将A分区为3x3矩阵SR和3矢量Sx，如上所述。
2. 构造缩放矩阵S.前三个对角元素是矩阵SR行的向量范数;最后一个对角元素是1。
3. 通过将A的每一行除以相应的比例因子来构造4x4旋转+平移矩阵T.

案例2，操作是“缩放”，然后是“旋转+翻译”。
现在考虑RS = R * S的情况。这里A的列将彼此正交，但行不是正交的。在这种情况下，比例因子是矩阵RS列的范数的平方根。

算法： 给定4×4矩阵A，产生4×4旋转+平移矩阵T，4×4缩放矩阵S

A = [  RS(3x3)  x(3x1) ]
    [   0(1x3)    1    ]

1. 将A分区为3x3矩阵RS和3矢量x，如上所述。
2. 构造缩放矩阵S.前三个对角元素是矩阵RS的列的向量范数;最后一个对角元素是1。
3. 通过将A的每一行除以相应的比例因子来构造4x4旋转+平移矩阵T.

如果缩放不均匀（例如，缩放x乘2，y乘4，z乘1/2），您可以通过查看上部3x3的行和列的内积来说明操作的顺序矩阵彼此。缩放最后（我的情况1）意味着行内部产品将非常接近零，但列内部产品将不为零。首先缩放（我的情况2）会逆转这种情况。如果缩放是统一的，则无法分辨哪种情况。你需要事先知道。

Answer 2

只是一个想法 -

• 将矩阵乘以单位向量(1/sqrt(3),1/sqrt(3),1/sqrt(3))，
• 检查乘法后矢量的长度，
• 将矩阵按该值的倒数缩放。现在你有了一个正交矩阵
• 使用您找到的比例创建新的比例矩阵。

Answer 3

1. 删除翻译以获得3x3矩阵
2. 通过SVD执行polar decomposition。