Question

考虑二叉树：

n 是一个节点，如果 n 是一个整数
（+ a b ）是一个节点，如果 a 且 b 是节点。

我们有以下三个操作：

（+ a b ） - ＆gt; （+ b a ）
（+（+ a b ） c ） - ＆gt; （+ a （+ b c ））
（+ a （+ b c ）） - ＆gt; （+（+ a b ） c ） - （2.反过来）

我需要一种算法，使用这些操作给出给定树的所有可能的排列。任何操作都可以应用于任何子树。对于排列，我的意思是任何具有完全相同的叶子集的树。这可能不是很困难，但我似乎无法弄明白。

[编辑]叶子也可以是名称（即变量），因此不能选择依赖于它们的属性作为整数。树确实代表了总和。

[Edit2]这个练习的目的是通过查找 A 和 -A 形式的术语来减少总和，调整树以使它们成为子树（+ A -A ）以消除它们。上面的三个操作是我系统中的公理，它们需要一直使用，否则无法证明简化树等于原始树。由于我使用的是Twelf逻辑编程语言，如果我能找出算法来做我最初提出的问题，其余的就很容易了，但其他解决方案当然是受欢迎的。

Answer 1

似乎最简单的解决方案是对树进行深度优先遍历，将所有节点收集到列表中，生成列表的所有排列，将每个排列转储到二叉树中。

所以，给定列表（+ a（+ b c）），我们有节点[a; b; c]，具有以下排列：

[a; b; c]
[a; c; b]
[b; a; c]
[b; c; a]
[c; a; b]
[c; b; a]

列表中的第一项是您的头，以下两项是子节点，接下来的四项是子子节点，依此类推。

如果您需要生成所有可能树的列表，而不仅仅是平衡树，则此increases dramatically的复杂性。在这种情况下，您需要将它们分组：

[a; b; c; d]
[(a; b); c; d]
[(a; b; c); d]
[a; (b; c); d]
[a; (b; c; d)]
[a; b; (c; d)]
[a; b; d; c]
// first permutation
[(a; b); d; c]
[(a; b; d); c]
...

每个n元组是一组节点。对于多个节点，宇宙将在算法完成之前经历热死亡。

Answer 2

这个问题的解决方案无疑将包含Catalan numbers。 C _{n -1}可能存在 n 叶子的二叉树，并且有 n ！可能的叶子排序，所以有 n ！ * C _{n -1}可能的树。但是，枚举它们会稍微复杂一些。

Answer 3

这些操作类似于具有以下属性的添加：闭包，关联性，交换性。对于匹配节点，每个叶子都保持相同的叶子集合，并且可以以递归方式应用。计算给定节点x的排列（在Haskell和F＃的一些奇怪混合中）

let count x = match x with
  | LeafNode -> 1
  | TreeNode (a,b) -> 2 * count a * count b

Answer 4

你有结社性和交换性，所以你可以自由地移动元素。解决此问题的实用方法如下：

将树梳到一边，就会得到一个清单。
对列表进行排序，以便应取消的元素彼此相邻。
将元素移动到子树中并取消。

要获得所需的证明，您必须为这些操作构建小样本，然后将其组合起来。

或者你可以查找AC匹配。

按照你的建议尝试所有排列只会让你发生一次大的组合爆炸。

Answer 5

正如所指出的，如果你真的有交换性和相关性公理，那么最好只收集加数并将它们作为一组或一个列表处理。

如果这不令人满意，接下来要注意的是，实际上你似乎并不需要所有排列，但你想重写你的表达式以简化它们。这可以比制作所有排列更有效！

然而，要重复:)，如果你只有交换性和关联性，请处理集合中的术语。

Answer 6

我发现了解决树木减少的根本问题的解决方案：

从树上找到一对叶子A和-A。
a）如果A和-A属于同一个孩子，请递归。
b）'泡'A和-A到各自孩子的顶部。有八种可能的结果案例，但它们都看起来像这样（+（x A）（ - A y））。从那里到（+（+ x y）（+ A -A））很容易。

正如所建议的那样，另一种方法是首先将树转换为列表：（+ A（+ B（+ ...））X），然后找到匹配的对A和-A并将它们带入到达顶点。我怀疑这可能会产生比上述算法更长的证据（这是不可取的），尽管我还没有尝试过。

尽管如此，我发现原始问题引人入胜，我想尝试一下基于此的算法如何与上述算法进行比较。

二叉树的排列

6 个答案: