以离散步骤绘制弧

Question

下午好，

背景
我的问题涉及使用离散步骤在空间中绘制任意弧。然而，它是独一无二的，因为我并没有画出典型意义上的画布。我正在设计的固件是用于CNC铣床的gcode解释器，它将命令转换为步进电机运动。现在，我已经在这个网站上发现了类似的问题，但是建议的方法（Bresenham的算法）似乎无法在空间中移动物体，因为它只依赖于计算圆的一个八分圆然后被镜像关于剩余的对称轴。此外，计算两个任意角度之间的弧的规定方法依赖于三角函数（我在微控制器上实现并且希望避免代价高昂的触发功能，如果可能的话）并且根本不采取超出范围的步骤。最后，该算法仅设计为在一个旋转方向上工作（例如逆时针）。

问题
那么，关于实际的问题：有没有人知道一种通用算法可用于在离散步骤中“绘制”任意弧，同时仍然考虑角度方向（CW / CCW）？最终的实现将在C中完成，但出于问题目的的语言是无关紧要的。

提前谢谢。

参考
S.O使用Bresenham算法绘制一个简单的圆圈：
"Drawing" an arc in discrete x-y steps

Wiki页面描述了Bresenham的圆形算法
http://en.wikipedia.org/wiki/Midpoint_circle_algorithm

要实施的Gcode指令（参见.G2和G3）
http://linuxcnc.org/docs/html/gcode.html

Answer 1

通过将任意有理曲线转换为有理Bezier曲线，然后应用de Casteljau算法，您可以准确快速地解决此问题。对圆形和双曲线等圆锥曲线很容易做到这一点：

http://www.cs.mtu.edu/~shene/COURSES/cs3621/NOTES/spline/NURBS/RB-conics.html

一旦有了理性Bezier曲线，要将曲线重新采样为离散步骤，您应该使用de Casteljau算法。该算法使用动态编程，并且非常快速且数值稳健。如果您之前没有听说过，我建议您继续学习它，因为它是一个相当聪明的小算法：

http://www.cs.mtu.edu/~shene/COURSES/cs3621/NOTES/spline/Bezier/de-casteljau.html

有几种方法可以使用de Casteljau算法对曲线进行离散采样。首先，您可以天真地应用它以统一增量沿其参数空间评估曲线。如果增量需要均匀间隔，则必须将插值坐标更改为弧长单位：

http://www.cs.mtu.edu/~shene/COURSES/cs3621/NOTES/curves/continuity.html#Arc-Length-Parameterization

此技术的改进是转换为弦长参数化，随着时间的推移接近弧长参数化：

http://www.cs.mtu.edu/~shene/COURSES/cs3621/NOTES/INT-APP/PARA-chord-length.html

最后，如果你需要在曲线上有很多点，你可以将de Casteljau的算法应用为角切割程序，将初始控制点矢量细化为一个极限多边形，任意近似你想要的曲线，直到某些用户指定公差：

http://www.cs.mtu.edu/~shene/COURSES/cs3621/NOTES/spline/Bezier/bezier-sub.html

这些笔记来自C.K.教授。 Shene的课程笔记，这是学习样条曲线和细分曲面的重要资源：

http://www.cs.mtu.edu/~shene/COURSES/cs3621/NOTES/

Answer 2

这是一个愚蠢的想法，但它可能只是工作 计算计算机上每个可能半径的圆圈，并将此信息保存在微动压缩机内存中 假设您的圆半径为1到1000像素。所有圈子的1000 *（1000 + 1）/ 2 * 2 * pi = 300万点 对于每个点，您实际上只需要从前一点的偏移，有8种情况，这些可以编码为3位
取决于微控制器有多少位，比如8/16位，有2像素/字节或5像素/字
8位微处理器需要1.5MB内存，16位微处理器需要1.2MB内存 你可以存储半径为k像素增量的圆圈，并且只能使用1.5MB / k的内存 另一个优化方法是将圆形建模为具有多个边的多边形，不要将偏移保持到前一个点，而是保持两步或更远的点，并以某种方式插入两者之间的像素。
如果您对两步之外的像素保持偏移，则有16个案例，在4位上编码=＆gt; 3/2百万点=＆gt; 750KBytes
如果你每隔几步保持像素，你就有了s * 8种可能性，可以用3 + log2（s）比特进行编码 的 LE
像素每32步/ 8mils =＆gt; 10英寸半径圆10 * 4000 * 2 * pi / 32步* 1字节= 7.85KB， 像素每128步/ 32mils =＆gt; 10英寸半径圆10 * 4000 * 2 * pi / 128 * 10bits = 19634Kbits = 2.4KB
的 LLE： 你实际上没有s * 8的可能性，因为放大的圆是一条直线而少于那个 这一切都取决于你如何打包数据，或使用外部存储器 另一个优化：只存储象限或八分圆，并从对称性中找出其余部分 的 LLLE： 每一个