Question

通过泰勒级数展开来得出三角角的值是最有用的方法之一。对于三角角，我们必须将角度转换为弧度。泰勒多项式的第2到3个扩展给出的准确值几乎为4位数字。但是，如果我们需要更高的精确度和更精确的小数位，我会发现泰勒级数展开会遇到一些困难。

例如，通过Python编程派生cos(4Pi/15)或cos80(degrees)，我尝试如下

#Taylor series Cosine value for cos 80^^
import time
import math
from decimal import*
getcontext().prec = 100
b = 3.141592653589793238462643383279
print(b)

a = 80 # float(input("Enter required angle to calculate cos value: \n"))

#Calculate angle in radians

R = b*a/180
print("Angle in radians is: ",Decimal(R))
#r = math.radians(a)
#print(r)
#Taylor expansion

c = int(input("Enter number of terms to expand cos angle: \n"))
begin = time.time()
V = 0
for i in range(c):
    coef = (-1)**i
    num = Decimal(R)**(2*i)
    denom = math.factorial(2*i)
    V = V + (coef)*((num)/(denom))
print(V)
end = time.time()
print("Time for execution is \n", end - begin)
#Prints accurate to 16 digits
#print(math.sqrt(1)/2)

n = int(input("Enter a positive integer to get number of cycles to caluculate cos80\n "))
x = Decimal(2).sqrt()
begin = time.time()
for i in range(n):
    x = Decimal(2 + x).sqrt()
    x = Decimal(2 + x).sqrt()
    x = Decimal(2 - x).sqrt()

print(x/2)
end = time.time()
print("Time for execution is \n", end - begin)

我手动给出了Pi的30位小数精度，以计算泰勒级数展开中的弧度

但是另一种方法-与泰勒级数展开式相比，无限嵌套平方根2的有限周期给出了更好的结果（我与Wolfram alpha进行了比较。

这种谬误与泰勒级数展开有关，因为泰勒多项式的展开涉及幂和阶乘。这是小数位数不正确的原因吗？

还有什么其他方法可以使这种角度的结果精确到许多位数？

Wolfram alpha使用哪些方法？（即泰勒级数展开以外的方法）

泰勒级数展开以得出cos角值

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