Question

考虑下面的函数，它将a * b的结果转换成几个数字i和j，其中：

a，b，x，y为int（假设它们总是=> 32位长）
a和b是＆lt; = n * m，其中n = 10 ^ 3且m = 10 ^ 5。 n * m = BASE。
a * b可以写成i * BASE + j

如果不使用任何大于int的类型，你将如何计算j （如果小心溢出int的是UB）：

#include <iostream> #include <cstdlib> using namespace std; int n = 1000, m = 100000; struct N { int i, j; }; N f(int a, int b) { N x; int a0, a1, b0, b1, o; a1 = a / n; a0 = a - (a1 * n); // a0 = a % n b1 = b / m; b0 = b - (b1 * m); // b0 = b % m o = a1 * b1 + (a0 * b1) / n + (b0 * a1) / m; x.i = o; x.j = 0; // CALCULATE J WITH INTs MATH return x; } int main(int, char* argv[]) { int a = atoi(argv[1]), b = atoi(argv[2]); N x = f(a, b); cout << a << " * " << b << " = " << x.i << "*" << n*m << " + " << x.j << endl; cout << "which is: " << (long long)a * b << endl; return 0; }

Answer 1

您开始正确，但在计算o时丢失了图表。首先，我的假设：你不想处理任何大于n*m的整数，所以取mod n*m作弊。我这样说，因为给定m > 2^16，我必须假设int是32位长，它能够处理你的数字而不会溢出。

无论如何。你有正确的（我猜，因为没有指定n和m的目的）写的：

a=a0 + a1*n (a0<n)
b=b0 + b1*m (b0<m)

所以，如果我们做数学：

a*b = a0*b0 + a0*b1*m + a1*b0*n + a1*b1*n*m

此处a0*b0 < n*m，因此它是j和a1*b1*n*m > n*m的一部分，因此它是i的一部分。另外两个术语需要再分为两个。但是你无法计算每一个并取mod n*m，因为这会欺骗（根据我的规则）。如果你写：

a0*b1 = a0b1_0 + a0b1_1*n

你得到：

a0*b1*m = a0b1_0*m + a0b1_1*n*m

自a0b1_0 < n，a0b1_0*m < n*m以来，这意味着此部分转到j。显然，a0b1_1会转到i.

为a1 * b0重复一个类似的逻辑，你有三个词来加起来j，还有三个加起来为i。

编辑：忘了提几件事：

您需要约束a < n^2和b < m^2才能生效。否则，您需要更多_i“words”。例如：a = a0 + a1*n + a2*n^2, ai < n。
j的最终总和可能大于n*m。您需要注意溢出（n*m - o < addend或类似逻辑，并在发生这种情况时将1添加到i - 同时计算j + addend - n*m而不会溢出。）

Answer 2

我认为答案是j = a0 * b0

(a*b)/(n*m) = (a/n) * (b/m)
            = (a1 + a0/n) * (b1 + b0/m)
            = a1*b1 + a1*b0/m + a0*b1/n + (a0*b0)/(n*m)

现在

o = a1*b1 + a1*b0/m + a0*b1/n

将两侧乘以n * m

a * b  = o * n*m  +  a0*b0

n * m是基础

a * b  = o * BASE  +  a0*b0

j = a0*b0

QED

你如何计算这个函数中的j？

2 个答案: