有没有办法扭转atan2的影响？

Question

我有一个关于反转atan2的具体问题，我将用PHP编写我的代码示例。

$radial = 1.12*PI();
$transformed = -atan2(cos($radial)*2, sin($radial)*1.5);
$backToRadial = ?

有没有办法将转换后的值反转到起始径向，而不知道起始径向？ 这就是代码流的方式：$radial => transform($radial) => transformback(transform($radial)) => $radial。

我在网上搜索过（包括堆栈），但我找不到任何正确的代码。也看了维基百科，但它是压倒性的。我的问题是我认为更多的代数问题;）。

让我知道你的想法！

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Jason S回答：

Answer (by radial range: -PI-PI):
$backToRadial = atan2(2*cos($transformed), -1.5*sin($transformed));

Answer (by radial range: 0-2PI):
$backToRadial = PI() + atan2(-(2*cos($transformed)), -(-1.5*sin($transformed)));

Answer 1

首先，atan2与 tan ^-1 或arctan不同，如下文{{3}上的Wiki文章所示}：

如您所见，如果没有关于x和y的一些信息，则无法将其映射回来。但是，如果x>0始终为真，那么您只需使用反正切函数等

您可以使用此表示来计算反函数：

在您的示例中， y = 2cos（r）和 x = 1.5sin（r）。因此，如果您将上述表达式除以 y ，则以 x / y 的形式得到它，在您的情况下 4/3 cot（r）

如果这种表示是正确的，一些简单的代数会给你：

其中 r = radial和 k = cot （transformed / 2 ）

atan2为此提供了解决方案：

但是根据您的资源，最好找到具有固定值 k 的函数的根。例如。如果 k = 1.35 ，那么你需要解决：

任何像样的求解器（以及对你所拥有的资源的评论）都可以解决这个问题。 WolframAlpha提供了以下近似实际解决方案：

Answer 2

一个适用于主角（θ=-π到+π范围内的角度）的简单答案如下：

  

θ'= -atan2（2cosθ，1.5sinθ）

     

θ= atan2（2cosθ'， - 1.5sinθ'）

其中第一个等式是前向变换，第二个等式是许多逆变换之一。

这样做的原因是你所做的相当于r =笛卡尔坐标对（x，y）=（rcosθ，rsinθ）的反射+缩放+单位幅度归一化1，因为atan2（y，x）=θ。

可行的特定转换是（x'，y'）=（1.5y，-2x）。

θ'= atan2（y'，x'）= atan2（-2x，1.5y）= atan2（-2Rcosθ，1.5Rsinθ）= -atan2（2cosθ，1.5sinθ）， 最后一步是真的，因为对于任何k> atan2（ky，kx）= atan2（y，x） 0，和-atan2（y，x）= atan2（-y，x）。

这可以通过求解x和y来反转，即y = 1 / 1.5 * x'和x = -1/2 * y'：

θ= atan2（y，x）= atan2（1 / 1.5 * x'， - 1/2 * y'）

我们选择将（x，y）乘以k = 3 / R以保持角度不变：

θ= atan2（2x'/ R，-1.5y'/ R）= atan2（2cosθ'， - 1.5sinθ'）

Q.E.D。

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编辑：Jason正确地指出，你的示例角度1.12π不在主角度范围-π到+π之内。您需要定义希望能够处理的角度范围，并且它必须是最大长度为2π的范围。

我的答案可以相应调整，但需要一些工作才能验证，如果你坚持-π到+π范围，你会更容易自己，因为你正在使用atan2()和它的输出在这个范围内。

如果你想使用atan2()的修改版本输出0-2π范围内的角度，我建议使用

atan2b(y,x) = pi+atan2(-y,-x)

其中atan2b现在在0和2π之间输出，因为atan2（-y，-x）的计算与atan2（y，x）的差值为π（mod2π）

如果您打算采用这种方法，请不要计算-atan2b(y,x);而是计算atan2b(-y,x)，（等效mod2π），以便输出角度的范围保持不变。