Question

我正在尝试编写一个（天真的或半天真的）程序，该程序给定了一组元素，许多玩家将其划分为该玩家数量，并且每次划分都取最小值（总和））子集。然后，我要计算所有这些最小除法的最大值。

这就是所谓的https://en.wikipedia.org/wiki/Maximin_share。

例如，如果我们查看一组{1,4,6}，我们可以将其划分为2个玩家，这样一个玩家收到{1,4}而另一个{6}，则此处的最小值为5。在所有其他除法中，很容易看到最小值将小于5。

我想写一个序言谓词maximin(+Elements,+Players,-Value)，给定Elements（正整数）的列表，而Players的数目返回极大值Value。

我尝试了一种非常幼稚的方法：

写一个计算特定除法的谓词。
使用find all查找所有部门。
对于每个部门，返回最小子集的值。
计算了其中的最大值。

但是，该程序仅在少量输入时运行。例如，如果我使用10个元素列表Elements并尝试将其划分为3个播放器，即使我尝试尽最大努力增加程序内存，也会遇到堆栈错误可以使用set_prolog_stack。

我的代码：

% returns the smaller item
mini(A,B,B):- A > B.
mini(A,B,A):- A =< B.

% Returns the Sum of the minimal subset in a division (+,-)
min_subset_value([P1],Sum1):-subset_value(P1,Sum1).
min_subset_value([P1|RestP],Min) :-  RestP \= [], min_subset_value(RestP, OtherMin), subset_value(P1,A1)
                                     , mini(A1, OtherMin, Min).


% divide_to_players(+,+,-) : Generate a division of all the Elements to N subsets
divide_to_players([],N,EmptySets):- N>=1, generate_empty_sets(EmptySets,N).
divide_to_players(Elements, 1, [Elements]):-Elements \= [].
divide_to_players(Elements, N, [P1|RestP]):- N>1, Elements \= [], subseti(P1,Elements)
                                             , remove_subset(Elements,P1,OtherElements)
                                             , N1 is N-1
                                             , divide_to_players(OtherElements, N1, RestP).
% Generates all divisions (+,+,-)
generate_all_divisions(Elements,N,AllDivs) :- findall(Div,divide_to_players(Elements,N,Div),AllDivs).

% From all the given divisions, which one has the maximal minimal subset
find_max_division([],0).
find_max_division([Set1|RestSets],Max) :- find_max_division(RestSets, OtherMin)
                                         , min_subset_value(Set1,LocalMin)
                                         , maxi(LocalMin, OtherMin, Max).

% uses the previous functions as described above (+,+,-)
maximin_player(Elements,N,Maximin) :- generate_all_divisions(Elements,N,AllDiv)
                                     , find_max_division(AllDiv,Maximin).

但是，我是否在流浪，是否还有其他方法可做？也许在不使用findall的情况下找到maximin值？我之所以只使用findall，是因为我对这种方法没有更好的主意，因此，我很高兴听到其他解决此问题的主意或方法。

Answer 1

如果元素都是整数（即没有变量，也没有浮点值），我认为这很好：

maximin(Elements, N, Maximin, LDistribution):-
  sumlist(Elements, Sum),
  TargetMaximin is -Sum//N,
  once(
  (
    between(TargetMaximin, -1, NMaximin),
    Maximin is -NMaximin,
    distribute(Elements, [], n, Maximin, N, 0, [], LDistributionOnce)
  )),
  LDistribution=LDistributionOnce.
  
distribute([], [], _, _, 0, _, _, []).
distribute(Elements, Skipped, y, Maximin, N, Cur, Distribution, [Distribution|LDistribution]):-
  N>0,
  Cur >= Maximin,
  succ(N1, N),
  append(Elements, Skipped, NElements),
  distribute(NElements, [], n, Maximin, N1, 0, [], LDistribution).
distribute([Element|Elements], Skipped, _, Maximin, N, Cur, Distribution, LDistribution):-
  N>0,
  NCur is Cur+Element,
  distribute(Elements, Skipped, y, Maximin, N, NCur, [Element|Distribution], LDistribution).
distribute([Element|Elements], Skipped, _, Maximin, N, Cur, Distribution, LDistribution):-
  N>0,
  distribute(Elements, [Element|Skipped], n, Maximin, N, Cur, Distribution, LDistribution).

算法的思想是从最大目标最小值（元素总数的整数除以玩家数量）开始，并尝试将元素放入N个插槽中，其中每个插槽的总和至少为最低目标。如果找到这样的分布，就可以了，否则将目标最小值减小1并重复。

这里的算法还给出了找到的唯一分布。

示例运行：

?- maximin([11,17,19],3,Maximin, LDist).
Maximin = 11,
LDist = [[11], [17], [19]].

?- maximin([5,7,1,3,3,7,4,3,8,2,5,1],3,Maximin, LDist).
Maximin = 16,
LDist = [[3, 1, 7, 5], [3, 4, 7, 3], [1, 5, 2, 8]].

寻找最大最小值集

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