二叉树中深度为d的节点数

Question

因此，我读到深度为d的k阶二叉树中的节点数为k选择d。但是，我看不出结果来自何处。有人对此有简单的证明/直觉吗？

Answer 1

这是使用归纳法对结果的简单证明，尽管我认为必须有一个更优雅，更直观的论证，不需要归纳法。

我们将通过在n上的归纳证明这一说法：

深度为d的n阶二项式树中的节点数为n选择d。

n = 0的基本情况要求我们证明深度d = 0时为（0选择0），即1。这是事实。是的！

对于归纳步​​骤，假设对于n = k，这是正确的；我们将在n = k + 1时证明这一点。回想一下，可以通过取两个k阶二项式树并使一个成为另一个的子级来形成k + 1阶的二叉树。因此，如果您选择深度d，则树中深度d处的节点数为

• 一棵k阶树在深度d处的节点数，
• 距离k阶另一棵树d-1深度处的节点数，因为该树向下移动了一个位置。

我们的归纳假设告诉我们，此处的节点数为（k选择d）+（k选择d-1）。现在，有关二项式系数的有趣事实！如果添加（k选择d）+（k选择d-1），会得到什么？得出（k + 1选择d）。 （想想Pascal的三角形是一个很好的简单证明，或者算一下数学就可以了。）

我们拥有k + 1的索赔要求，这结束了我们很好的归纳证明。

现在剩下要做的就是弄清直觉。 ：-）

Answer 2

@templatetypedef给出正式的（ish :)证明。这是一个非正式的证明：

在Pascal三角形中，N层的节点是N-1层的总和，再加上右移的N-1层。

在二项式树中，N阶的树包含N-1阶的树，再加上下移的N-1阶树。

如果将二叉树的每个级别替换为该级别中的节点数，则二叉树的构造将完全成为Pascal的三角形构造。