Question

是否有一种有效的算法来计算最小整数N，使得N！可以被p ^ k整除，其中p是一个相对较小的素数，k是一个非常大的整数。换句话说，

factorial(N) mod p^k == 0

如果给定N和p，我想找到p分成N！的次数，我会使用众所周知的公式

k = Sum(floor(N/p^i) for i=1,2,...

我已经对k的小值进行了强力搜索，但随着k的增加，这种方法很快就会崩溃，并且似乎没有一种模式可以推断为更大的值。

2011年6月13日编辑

使用Fiver和Hammar提出的建议，我使用准二分搜索来解决问题但不完全按照他们的建议。使用上面第二个公式的截断版本，我计算了N的上限作为k和p的乘积（仅使用第一项）。我用1作为下限。使用经典二进制搜索算法，我计算了这两个值之间的中点，并计算了在第二个公式中使用此中点值作为N的k，这次使用了所有项。

如果计算的k太小，我调整下限并重复。太大了，我首先测试看中间点1计算的k是否小于期望的k。如果是这样，中点返回为最接近的N.否则，我调整了高点并重复。

如果计算的k相等，我测试了中点-1处的值是否等于中点处的值。如果是这样，我将高点调整为中点并重复。如果中点-1小于期望的k，则返回中点作为期望的答案。

即使k（10位或更多位）的值非常大，此方法也可以使用O（n log（n））速度。

Answer 1

好的，这很有趣。

定义f（i）=（p ^ i - 1）/（p - 1）

将k写成一种有趣的“基数”，其中位置i的值为f（i）。

您可以从最重要的数字到最不重要的数字执行此操作。首先，找到最大的j，使得f（j）<= k。然后计算k / f（j）的商和余数。将商存储为q_j，余数存储为r。现在计算r / f（j-1）的商和余数。将商存储为q_ {j-1}，将余数再次存储为r。现在计算r / f（j-2）的商和余数。等等。

这生成序列q_j，q_ {j-1}，q_ {j-2}，...，q_1。（注意，序列结束于1，而不是0.）然后计算q_j * p ^ j + q_ {j-1} * p ^（j-1）+ ... q_1 * p。那是你的N.

示例：k = 9，p = 3.所以f（i）=（3 ^ i - 1）/ 2.f（1）= 1，f（2）= 4，f（3）= 13。所以f（j）<= 9的最大j是i = 2，f（2）= 4.取商数和9/4的余数。这是2的商（这是我们2位的数字）和其余的1。

对于1的余数，找到1 / f（1）的商和余数。商数为1，余数为零，所以我们完成了。

所以q_2 = 2，q_1 = 1. 2 * 3 ^ 2 + 1 * 3 ^ 1 = 21，这是正确的N.

我在纸上有一个解释为什么这有效，但我不确定如何在文本中传达它...注意f（i）回答了问题，“p有多少因素（p ^一世）！”。一旦你找到最大的i，j使得j * f（i）小于k，并且意识到你真正在做的是找到最大的j * p ^ i小于N，剩下的那种掉了洗。例如，在我们的p = 3示例中，我们得到4 p由1-9的乘积贡献，4个由10-18的乘积贡献，还有一个由21贡献。前两个只是p ^的倍数2; f（2）= 4告诉我们p ^ 2的每个倍数为产品贡献了4个p。

[更新]

代码总是有助于澄清。将以下perl脚本保存为foo.pl并将其作为foo.pl <p> <k>运行。请注意**是Perl的指数运算符，bdiv计算BigInts的商和余数（无限精度整数），use bigint告诉Perl在任何地方都使用BigInts。

#!/usr/bin/env perl

use warnings;
use strict;
use bigint;

@ARGV == 2
    or die "Usage: $0 <p> <k>\n";

my ($p, $k) = map { Math::BigInt->new($_) } @ARGV;

sub f {
    my $i = shift;
    return ($p ** $i - 1) / ($p - 1);
}

my $j = 0;
while (f($j) <= $k) {
    $j++;
}
$j--;

my $N = 0;

my $r = $k;
while ($r > 0) {
    my $val = f($j);
    my ($q, $new_r) = $r->bdiv($val);
    $N += $q * ($p ** $j);
    $r = $new_r;
    $j--;
}

print "Result: $N\n";

exit 0;

Answer 2

使用您提到的公式，给定固定k和p的{{1}}值序列不会减少。这意味着您可以使用二进制搜索的变体在给定所需N = 1,2...的情况下查找N。

从k开始，然后计算N = 1。
加倍k，直到N大于或等于您想要的k才能获得上限。
在剩余的时间间隔内进行二元搜索以找到您的k。

Answer 3

为什么不使用你提到的第二个公式尝试二元搜索答案？

你只需要考虑N的值，p除以N，因为如果没有，那么N！和（N-1）！被p除以相同的幂，所以N不能是最小的。

Answer 4

考虑

I =（p ⁿ）！

并忽略p以外的素数因子。结果看起来像

I = p ⁿ * p ^n-1 * p ^n-2 * ... * p * 1
I = p ^{n +（n-1）+（n-2）+ ... 2 + 1}
I = p ^{（n ² + n）/ 2}

所以我们试图找到最小的n，这样

（n ² + n）/ 2> = k

如果我记得右二次方程给我们

N = p ⁿ，其中n> =（sqrt（1 + 8k）-1）/ 2

（P.S.有谁知道如何在降价中显示激进的符号？）

修改：

这是错误的。让我看看能否挽救它......

找到N最小的算法N！可以被提升为权力的素数整除

4 个答案: