Question

为各种事物实现数学函数非常简单。 int mul(int,int);，int pow(int,int);，偶数double div(float,float);很容易做到，可以通过循环或递归来实现。（这些是用于手动或在头部执行这些功能的相同方法。）要相乘，只需重复添加数字即可。划分，重复减去它。要获得力量，反复倍增。等等。

然而，我一直想知道的一个数学函数是根。例如，您如何编写函数来计算数字的平方（或多维数据集等）根（即double root(float num, float root);）？我试着环顾四周，找不到这样做的算法或方法。

当我尝试手动计算根时，我通常使用猜测方法（从一个近似数字开始，添加一个分数，乘以，看它有多远，加一个小分数，乘以，再次检查，和重复，直到满意）。我想这可行，但肯定有更好更快的方法（无论计算机能做多快多于手工操作）。

显然LUT不相关，因为它必须足够通用才能占用任何操作数（除非你用一组有限的数据编写游戏）。 Wikipedia article提到了猜测方法并列出了一些古老的方法（早在计算机发明之前）以及一些纯数学甚至微积分方法（包括一些以“无限”作为组件的方法）。唯一似乎与电子产品有关的方法是使用技巧或逻辑。（这只是 square-roots ，更不用说立方根了，等等。）

没有简单的根计算方法吗？计算器如何做到这一点？电脑怎么做？（不，仅仅执行double pow(a,0.5);将无效，因为double pow(float,float)将如何实施？）

我是否只是错误地将根函数分组为更简单的函数？它们比它们看起来更复杂吗？

Answer 1

有几种可能性。有两种不同的迭代方法，例如二分法或牛顿法。就使用pow而言，有些计算机（例如x86）有一条指令要做（至少部分）将数字提升到一个幂，所以这纯粹是在编写一些框架的问题。

这是一个用于平方根的牛顿方法的汇编语言实现，在这种情况下只使用16位整数，但同样的基本思想适用于其他类型。我在大约20年前写过这篇文章，因此它适用于没有浮点硬件的16位CPU。

isqrt proc uses di, number:word
;
; uses bx, cx, dx
;
    mov di,number
    mov ax,255
start_loop:
    mov bx,ax
    xor dx,dx
    mov ax,di
    div bx
    add ax,bx
    shr ax,1
    mov cx,ax
    sub cx,bx
    cmp cx,2
    ja  start_loop
    ret
isqrt endp

这是x87计算任意功率的一些代码：

pow proc
    ; x^y = 2^(log2(x) * y)
    fyl2x    
    fld st(0)
    frndint  
    fld1     
    fscale   
    fxch st(2)
    fsubrp   
    f2xm1    
    fld1     
    faddp    
    fmulp    
    ret
endp

但请注意，您通常不希望通过重复添加来实现乘法，或者通过重复减法来实现除法。相反，你想要移动并加/减两个连续的幂来更快地得到结果。

以下是一些显示一般概念的代码：

mult proc
; multiplies eax by ebx and places result in edx:ecx
    xor ecx, ecx
    xor edx, edx
mul1:
    test ebx, 1
    jz  mul2
    add ecx, eax
    adc edx, 0
mul2:
    shr ebx, 1
    shl eax, 1
    test ebx, ebx
    jnz  mul1
done:
    ret
mult endp

这对x86来说毫无意义，因为它内置了乘法指令，但在较旧的处理器（PDP-11,8080,6502等）上，这样的代码相当常见。

Answer 2

您可以直接从您声明的文章中直接链接N-th root algorithm。它来自Newton's method。

Answer 3

这取决于你想要的一般程度。例如，如果要计算（-4.2）^0.23，则需要复杂的算术运算。正如Mat指出的那样，对于整数n和正x，存在用于计算x ^{1 / n}的快速算法。如果你想要x ^y为正x和任何y，那么log和指数就可以工作。

实现根计算功能

3 个答案: