在阵列之间找到双射的算法

Question

我有两个数组，比如A={1, 2, 3}和B={2, 4, 8}（数组项数和数字可能会有所不同）。如何在阵列之间找到双射。

在这种情况下，它将是f:A->B; f(x)=2^(x)

Answer 1

我不认为这个问题有一个普遍的解决方案。您可以尝试FindSequenceFunction，但不会总是找到解决方案。对于手头的情况，您需要更长的列表：

In[250]:= FindSequenceFunction[Transpose[{{1, 2, 3}, {2, 4, 8}}], n]

Out[250]= FindSequenceFunction[{{1, 2}, {2, 4}, {3, 8}}, n]

但是

In[251]:= FindSequenceFunction[Transpose[{{1, 2, 3, 4}, {2, 4, 8, 16}}], n]

Out[251]= 2^n

如果您对双射有所猜测，也可以使用FindFit进行游戏：

In[252]:= FindFit[Transpose[{{1, 2, 3}, {2, 4, 8}}], p*q^x, {p, q}, x]

Out[252]= {p -> 1., q -> 2.}

Answer 2

由于您标记了Mathematica，我将使用Mathematica函数作为参考。

如果您对使用平滑函数的数据的任意拟合感兴趣，可以使用插值。 E.g。

a = {1, 2, 3}; b = {2, 4, 8};
f = Interpolation[Transpose[{a, b}]];

(* Graph the interpolation function *)
Show[Plot[f[x], {x, 1, 3}], Graphics[Point /@ Transpose[{a, b}]], 
   PlotRange -> {{0, 4}, {0, 9}}, Frame -> Automatic, Axes -> None]

插值使用分段多项式。如果你知道或者愿意学习一些数值方法，特别是B-Splines，你可以用自己喜欢的编程语言做同样的事情。

相反，如果您对数据有所了解，例如：它的形式为c d ^ x，那么你可以做一个最小化来找到未知数（在这种情况下为c和d）。如果您的数据实际上是从c d ^ x形式生成的，那么拟合将是公平的，否则误差在最小二乘意义上被最小化。所以对于你的数据：

FindFit[Transpose[{a, b}], c d^x, {c, d}, {x}]

报告：

{c -> 1., d -> 2.}

表明你的功能是2 ^ x，就像你一直都知道的那样。

Answer 3

正如其他人所说，这个问题是不明确的。

给出相同结果的其他可能函数（可能是无限其他函数）:( 8 x）/ 3 - x ^ 2 + x ^ 3/3，x +（37 x ^ 2）/ 18 - （4 x ^ 3）/ 3 +（5×4）/ 18，和（259×3）/ 54 - （31×4）/ 9 +（35×5）/ 54。

我发现这些解决方案使用：

n = 5; (* try various other values *)
A = {1, 2, 3} ; B = {2, 4, 8}
eqs = Table[
  Sum[a[i] x[[1]]^i, {i, n}] == x[[2]], {x, {A, B}\[Transpose]}]
sol = Solve[eqs, Table[a[i], {i, n}], Reals]
Sum[a[i] x^i, {i, n}] /. sol

有时并非所有的[i]都完全确定，你可能会想出自己的价值观。

[提示：最好不要在Mathematica中使用以大写字母开头的变量，以免与保留字冲突]