Question

对于以下循环，有人可以帮我找到T（n），即内部循环作为n的函数运行的次数：

for (int i = 0; i < n; i++)
    for (int j = i; j > 0; j /= 2)
        cout << j << endl;

仅此一看，我就知道big-O是O(n*log(n))，但我也应该弄清楚T(n)

我已经运行了代码，并找到了执行该语句的次数。我想出了一个系列，但还没有想出如何简化它：

log_2(n-1)+1+log_2(n-2)+1+log_2(n-3)+1+.......

我尝试使用对数乘积规则将其简化为

T(n)=log_2((n-1)!2^2))

但是不满足方程式。

*编辑以解释我的意思T(n)

Answer 1

通过T(n)，我认为您的意思是用于输入大小为n的“基本操作”数量的函数。首先，您必须选择“基本操作”。在这种情况下，cout << j << endl似乎是一个合理的选择。

让我们从一些更简单的示例开始：

for (int i = 0; i < n; i++)
    cout << i << endl;

（由于我在这里不能使用sigma表示法，因此我将写sum(a, b, c)，其中a通常写在sigma之下，b写在sigma之上，而{{1 }}写在sigma的右边。）

for循环的分析基于求和。我们每个输出操作执行一次，所以c。我们可以通过数学归纳法证明T(n) = sum(i = 0, n - 1, 1)。

由于这与您的外部for循环相同，因此我们可以编写T(n) = n。

要分析内部循环，让我们首先注意是否计数相反：

T(n) = sum(i=0, n, THE NUMBER OF STEPS FOR THE INNER LOOP)

分析是一样的

现在让我们做一些更复杂的事情：

for (int i = n; i > 0; i--)
    cout << i << endl;

我们需要使用sigma计数法来计算步数，因此我们将对代码进行几次转换，同时保留执行的步数。与前面的计数示例具有相同的步骤数相同，我们可以将其写为

for (int i = n; i > 0; i /= 2)
    cout << i << endl;

我了解输出会有所不同，但我们只关心步骤数。

我们需要再进行一次转换，因为sigma表示法总是增加1：

for (int i = 0; i < n; i *= 2)
    cout << i << endl;

现在，这很像我们的第一个示例：for (int i = 0; i < n/2; i++) cout << i << endl;。

所以现在我们可以将内部循环的总和添加到我们的函数中：

T(n) = sum(i=0, n/2 - 1, 1) = n/2

最后一步是为一个封闭的公式求和。留给读者练习。