Question

我一直在制作一个矩阵课（作为一个学习练习），并且在测试我的反函数时遇到了问题。

我输入了一个任意矩阵：

2 1 1
1 2 1
1 1 2

得到它来计算逆，我得到了正确的结果：

0.75 -0.25 -0.25
-0.25 0.75 -0.25
-0.25 -0.25 0.75

但是当我尝试将两者相乘以确保我得到单位矩阵时，我得到了：

1 5.5111512e-017 0
0 1 0
-1.11022302e-0.16 0 1

为什么我会得到这些结果？我会理解，如果我将奇怪的数字乘以我可以理解的一些舍入误差，但它所做的总和是：

2 * -0.25 + 1 * 0.75 + 1 * -0.25

显然是0，而不是5.111512e-017

如果我手动让它进行计算;例如：

std::cout << (2 * -0.25 + 1 * 0.75 + 1 * -0.25) << "\n";

我按预期得到0？

所有数字均表示为双打。这是我的多重过载：

Matrix operator*(const Matrix& A, const Matrix& B)
{
    if(A.get_cols() == B.get_rows())
    {
        Matrix temp(A.get_rows(), B.get_cols());
        for(unsigned m = 0; m < temp.get_rows(); ++m)
        {
            for(unsigned n = 0; n < temp.get_cols(); ++n)
            {
                for(unsigned i = 0; i < temp.get_cols(); ++i)
                {
                    temp(m, n) += A(m, i) * B(i, n);
                }
            }
        }

        return temp;
    }

    throw std::runtime_error("Bad Matrix Multiplication");
}

和访问功能：

double& Matrix::operator()(unsigned r, unsigned c)
{
    return data[cols * r + c];
}

double Matrix::operator()(unsigned r, unsigned c) const
{
    return data[cols * r + c];
}

这是找到逆的函数：

Matrix Inverse(Matrix& M)
{
    if(M.rows != M.cols)
    {
        throw std::runtime_error("Matrix is not square");
    }

    int r = 0;
    int c = 0;
    Matrix augment(M.rows, M.cols*2);
    augment.copy(M);

    for(r = 0; r < M.rows; ++r)
    {
        for(c = M.cols; c < M.cols * 2; ++c)
        {
            augment(r, c) = (r == (c - M.cols) ? 1.0 : 0.0);
        }
    }

    for(int R = 0; R < augment.rows; ++R)
    {
        double n = augment(R, R);
        for(c = 0; c < augment.cols; ++c)
        {
            augment(R, c) /= n;
        }

        for(r = 0; r < augment.rows; ++r)
        {
            if(r == R) { continue; }
            double a = augment(r, R);

            for(c = 0; c < augment.cols; ++c)
            {
                augment(r, c) -= a * augment(R, c);
            }
        }
    }

    Matrix inverse(M.rows, M.cols);
    for(r = 0; r < M.rows; ++r)
    {
        for(c = M.cols; c < M.cols * 2; ++c)
        {
            inverse(r, c - M.cols) = augment(r, c);
        }
    }

    return inverse;
}

Answer 1

请阅读本文：What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic

Answer 2

你的倒置矩阵中有数字像0.250000000000000005，它们只是四舍五入显示所以你会看到很好的小圆数，如0.25。

Answer 3

这些数字不应该有任何问题，因为对于这个特定的矩阵，逆是2的所有幂并且可以准确地表示。通常，对浮点数的操作会引入可能累积的小错误，结果可能会令人惊讶。

在你的情况下，我很确定逆是不准确的，你只是显示前几位数。即，它不是完全 0.25（= 1/4），0.75（= 3/4）等。

Answer 4

你总是会遇到像这样的浮点舍入错误，特别是在使用没有精确二进制表示的数字时（即，你的数字不等于2 ^（N）或1 /（2 ^） N），其中N是某个整数值。）

话虽如此，有许多方法可以提高结果的精确度，您可能希望使用固定精度浮点值对数字稳定的高斯消除算法进行谷歌搜索。

如果你愿意速度快，你也可以使用一个使用有理数的无限精度数学库，如果你采取这个选择，就可以避免使用可能产生无理数的根。有许多库可以帮助您使用有理数，例如GMP。您也可以自己创建一个rational类，但要注意，如果您只使用无符号的64位值以及理性组件的额外sign-flag变量，则会溢出多个数学运算的结果相对容易数字。这就是GMP，它的无限长度整数字符串对象派上用场。

Answer 5

这只是简单的浮点错误。即使计算机上的double也不是100％准确。没有办法100％准确地表示具有有限位数的二进制10的十进制数。

微小的数字代替零？

5 个答案: