Question

从一个整数数组开始，以便值的总和为正整数S。以下例程始终以相同的步骤结束，并且结果相同。这是为什么？

从数组x = [x_0, x_1, ..., x_N-1]开始，使所有x_i都是整数。虽然存在否定条目，但请执行以下操作：

选择任何索引i，以便x_i < 0。
将x_i（负数）添加到x_(i-1 % N)。
将x_i（负数）添加到x_(i+1 % N)。
将x_i替换为-x_i（正数）。

此过程维护x_0 + x_1 + ... + x_N-1 = S的属性。对于任何给定的起始数组x，无论在任何步骤选择哪个索引，通过这些步骤的次数与结果向量相同。对于我来说，这个过程在有限的时间内终止是不明显的（至少对我而言），更不用说具有这种不错的不变性。

实施例

选择x = [4 , -1, -2]并翻转x_1开始，结果为

[4, -1, -2]
[3, 1, -3]
[0, -2, 3]
[-2, 2, 1]
[2, 0, -1]
[1, -1, 1]
[0, 1, 0]

另一方面，将x_2翻转为开始

[4, -1, -2]
[2, -3, 2]
[-1, 3, -1]
[1, 2, -2]
[-1, 0, 2]
[1, -1, 1]
[0, 1, 0]

如果您选择x_2而不是x_0来翻转第三个数组，那么最后一种方法会为此解决方案提供从第三个向下反转的数组。在所有情况下，6个步骤都会导致[0,1,0]。

我有一个争论，为什么这是真的，但在我看来过于复杂（它与Coxeter groups）有关。有没有人有更直接的方式来思考为什么会这样？即使找到这个终止的原因也会很棒。

奖励指向任何找到确定给定数组步骤数的方法（不经过整个过程）。

Answer 1

我将负值向两个方向推出，直到它们衰减为止。由于加法是可交换的，因此处理元素的顺序无关紧要。

Answer 2

我认为无论你在每一步选择什么索引，最简单的方法就是看看为什么输出向量和步数是相同的，就是把问题看作一堆矩阵和向量乘法。

对于x包含3个组件的情况，请将x视为3x1向量：x = [x_0 x_1 x_2]'（其中'是转置操作）。循环的每次迭代都将选择翻转x_0,x_1,x_2中的一个，并且它在x上执行的操作与乘以下列矩阵之一相同：

      -1  0  0               1  1  0                1  0  1
s_0 =  1  1  0       s_1 =   0 -1  0        s_2 =   0  1  1
       1  0  1               0  1  1                0  0 -1

其中乘以s_0是指数i=0，s_1对应i=1，s_2对应i=2时执行的操作。使用此视图，您可以将算法解释为在每次迭代时将相应的s_i矩阵乘以x。因此，在开始时翻转x_1的第一个示例中，算法计算：s_1*s_2*s_0*s_1*s_2*s_1[4 -1 -2]' = [0 1 0]'

您选择的索引不影响最终输出向量的事实源于s矩阵的两个有趣属性。首先，s_i*s_(i-1)*s_i = s_(i-1)*s_i*s(i-1)，其中i-1以模n为模，即矩阵数。此属性是唯一需要查看为什么在包含3个元素的示例中得到相同结果的属性：

s_1*s_2*s_0*s_1*s_2*s_1 = s_1*s_2*s_0*(s_1*s_2*s_1) = s_1*s_2*s_0*(s_2*s_1*s_2)，对应于在开始时选择x_2，最后：

s_1*s_2*s_0*s_2*s_1*s_2 = s_1*(s_2*s_0*s_2)*s_1*s_2 = s_1*(s_0*s_2*s_0)*s1*s2，对应于选择在开始时翻转x_2，然后选择在第三次迭代中翻转x_0。

第二个属性仅在x包含4个或更多元素时适用。每当s_i*s_k = s_k*s_i k <= i-2再次以模i-2计算n时，x为-1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 s_0 = 1 1 0 0 s_1 = 0 -1 0 0 s_2 = 0 1 1 0 s_3 = 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 -1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 -1。当x_1有4个元素时考虑矩阵的形式时，此属性很明显：

x_3

第二个属性基本上表示您可以交换发生非冲突翻转的顺序。例如，在4元素向量中，如果您首先翻转x_3然后翻转x_1，则这与首次翻转{{1}}然后翻转{{1}}具有相同的效果。< / p>

Answer 3

这是观察N何时被3整除...可能没用，但我觉得要写下来。

让w（complex）成为1的原始立方根;即w^3 = 1和1 + w + w^2 = 0。例如，w = cos(2pi/3) + i*sin(2pi/3)。

考虑总和x_0 + x_1*w + x_2*w^2 + x_3 + x_4*w + x_5*w^2 + ...。也就是说，将序列的每个元素乘以w的连续幂并将它们全部加起来。

每一步都会发生一些有趣的事情。

从序列中考虑三个连续的数字[a, -b, c]，其中b为正。假设这些元素与w的幂相对应，使得这三个数字对总和贡献a - b*w + c*w^2。

现在在中间元素上执行步骤。

在此步骤之后，这些数字会为总和贡献(a-b) + b*w + (c-b)*w^2。

但是自1 + w + w^2 = 0，b + b*w + b*w^2 = 0以来。因此，我们可以将其添加到上一个表达式以获取a + 2*b*w + c。这与我们之前的步骤非常相似。

换句话说，该步骤仅将3*b*w添加到总和中。

如果三个连续的数字排在w的权力之后（例如）a*w - b*w^2 + c，那么该步骤将会添加3*b*w^2。

换句话说，无论w的权力如何与这三个数字对齐，该步骤都会增加3*b，3*b*w或3*b*w^2之和。

不幸的是，从w^2 = -(w+1)开始，这实际上并没有产生稳定增长的功能。所以，正如我所说，可能没用。但似乎一个合理的策略是为每个位置寻求一个“签名”，每个位置随着每一步单调变化......

将整数数组转换为非负整数数组

3 个答案: