简短答案：

Question

在假设中，我有一个自然数不能为零。当我们加上这个数时到另一个函数，其输出也是自然数。我必须证明这两个等于零的值相加的结果是错误的。我不应该讨论f，因为在非零项中加任何东西，等于零就是错误的陈述。

`H：（m =？0）=假

（f + m =？0）=假`

Answer 1

简短答案：

Require Import Lia.

rewrite !Nat.eqb_neq; lia.

长答案：

我很抱歉出现这个问题。从历史上看，Coq中有关平等的大多数推理都是通过eq概念，用符号m = n完成的，而不是您在此依赖的布尔相等性。同样重要的是要知道Coq具有“不平等”或“不平等”的特定表示法：m <> n代表~ (m = n)。

因此，如果您添加键入以下语句，则会有一个简单的解决方案：

Require Import Arith Lia.

Lemma example1 f m : m <> 0 -> f + m <> 0.
Proof. lia. Qed.

不幸的是，这不适用于您表达陈述的方式：

Lemma example2 f m : (m =? 0) = false -> (f + m =? 0) = false.
Proof. 
Fail lia.

如果使用以下模式调用Search，则会看到布尔比较表达式在逻辑上等同于基本等式，但前提是要使用特定的定理来表达这一点：

Search (_ =? _).

Nat.eqb_refl: forall x : nat, (x =? x) = true
beq_nat_refl: forall n : nat, true = (n =? n)
Nat.eqb_sym: forall x y : nat, (x =? y) = (y =? x)
Nat.eqb_spec: forall x y : nat, Bool.reflect (x = y) (x =? y)
beq_nat_eq: forall n m : nat, true = (n =? m) -> n = m
beq_nat_true: forall n m : nat, (n =? m) = true -> n = m
Nat.eqb_eq: forall n m : nat, (n =? m) = true <-> n = m
beq_nat_false: forall n m : nat, (n =? m) = false -> n <> m
Nat.eqb_neq: forall x y : nat, (x =? y) = false <-> x <> y
Nat.pow2_bits_eqb: forall n m : nat, Nat.testbit (2 ^ n) m = (n =? m)
Nat.bit0_eqb: forall a : nat, Nat.testbit a 0 = (a mod 2 =? 1)
Nat.eqb_compare:
  forall x y : nat, (x =? y) = match x ?= y with
                           | Eq => true
                           | _ => false
                           end
Nat.setbit_eqb:
  forall a n m : nat,
  Nat.testbit (Nat.setbit a n) m = ((n =? m) || Nat.testbit a m)%bool
Nat.clearbit_eqb:
  forall a n m : nat,
  Nat.testbit (Nat.clearbit a n) m = (Nat.testbit a m && negb (n =? m))%bool
Nat.testbit_eqb: forall a n : nat, Nat.testbit a n = ((a / 2 ^ n) mod 2 =? 1)

但是没有一个定理可以表达加法等于0等于加法的相互作用。您还可以使用更精确的模式来看到这一定理。

Search (_ =? _) 0 (_ + _).

这不返回任何内容。

另一方面，如果您键入

Search (_ = _) 0 (_ + _).

您会看到许多定理，其中之一与您的问题有关。

Nat.eq_add_0: forall n m : nat, n + m = 0 <-> n = 0 /\ m = 0

如果用_ = _而不是_ =? _表示，那么这足以解决问题。因此，要解决您的特定问题，我们首先需要将使用_ =? _的比较转换为等式语句，然后使用可用的定理进行逻辑推理。在第一个搜索结果中，我们有适合您情况的定理Nat.eqb_neq。继续上面example2的证明，我们可以写：

Rewrite !Nat.eqb_neq.

The goal becomes:

f, m : nat
============================
m <> 0 -> f + m <> 0

现在，我们可以使用定理Nat.eq_add_0进行逻辑推理。

rewrite Nat.eq_add_0.

我们可以一步步完成证明。

intros mn0 [fis0 mis0]; case mn0; assumption.

我们还可以要求自动工具为我们完成证明：

tauto.

但是在时间上往后走一点，我们也可以在用Nat.eqb_neq重写后观察该语句。这是线性算术中的一条语句（它包含比较，自然数，并且变量之间无积）。该声明属于该理论的策略范围，现在最常用的是lia。

如何简化等式陈述

1 个答案:

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