Question

我正在尝试并行化一些执行一些递归线性方程的软件。我认为其中一些可能会改编成前缀和。下面是几个我正在处理的方程式的例子。

标准前缀总和定义为：

y[i] = y[i-1] + x[i]

我感兴趣的一个方程看起来像前缀和，但是有一个乘法：

y[i] = A*y[i-1] + x[i]

另一个具有更深层次的递归：

y[i] = y[i-1] + y[i-2] + x[i]

除了解决这两种变化的方法外，我想知道是否有资源涵盖如何将上述问题改编成前缀和形式。或更一般而言，采用前缀总和以使其更灵活的技术。

Answer 1

（1）

y[i] = A*y[i-1] + x[i]

可以写为

y[z] = A^z * y[0] + Sum(A^(z-j) * x[j]) 
    ,where j E [z,1].

A^z * y[0]可以在O(log(z))

中计算

Sum(A^(z-j) * x[j])可以在O(z)中计算。

如果预先知道序列的最大大小（例如max），则可以将x的修改后的前缀和数组预先计算为

prefix_x[i] = A*prefix_x[i-1] + x[i]

     then Sum(A^(z-j) * x[j]) is simply prefix_x[z]
     and the query becomes O(1) with O(max) precomputation.

（2）

y[i] = y[i-1] + y[i-2] + x[i]

可以写为

y[z] = (F[z] * y[1] + F[z-1] * y[0]) + Sum(F[z-j+1] * x[j]) 
    ,where j E [z,2] and F[x] = xth fibonaci number

(F[z] * y[1] + F[z-1] * y[0])可以在O(log(z))

中计算

Sum(F[z-j+1] * x[j])可以在O(z)中计算。

如果预先知道序列的最大大小（例如max），则可以将x的修改后的前缀和数组预先计算为

prefix_x[i] = prefix_x[i-1] + prefix_x[i-2] + x[i]

     then Sum(F[z-j+1] * x[j]) is simply prefix_x[z]
     and the query becomes O(1) with O(max) precomputation.

前缀和变化

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