游戏难题：与对手蒙上双眼的硬币翻转

Question

有一张桌子，桌子上有四个带有随机初始面孔的硬币。您被蒙住双眼，每转一圈，您都必须选择一部分硬币来翻转。您的目标是使他们都以相同的方式面对。

还有其他人，在您翻转硬币后，会在转弯时尽可能地旋转桌子。他们的目标是不让你赢。由于蒙住了双眼，所以您不知道桌子旋转了多少。

一个示例游戏如下所示：首先，翻转顶部和左侧的硬币。然后，对手将棋盘旋转180度。然后轮到您了，您上下翻转硬币（在这种情况下，完成了零工作）。

取胜的策略是什么？

Answer 1

我正在使用以下动作：

• 1：翻转一枚硬币（例如：在您面前的硬币）
• D ：（对角线）翻转两个相反的硬币（一个在你面前，一个在对手面前）
• A ：（相邻）翻转相邻的两个硬币（在您前面的硬币和在右边的硬币）

然后序列

D A D 1 D A D

总是通过获胜状态！

这是通过案例分析证明的。

1. 您不是从赢家开始的。因此，至少有一个正面和一个反面的硬币。

2. 我首先假设有2个正面和2个反面。

   请注意，在这种情况下，D和A的任何举动要么获胜，要么保持2头和2尾。

   2a。如果两个头朝对，则D获胜。

   2b。如果不是，则D不会改变状态直至旋转（两个相邻的正面硬币） 然后，如果您做A，您要么赢，要么得到两个面对的头。所以你回到2a。

   摘要：如果D A D为2头和2尾，则获胜。

3. 如果不是，则D A D保持一个状态，其中一个硬币是一种硬币，另一种是三种。 因此，如果D A D没有赢，您就会知道自己处于这种状态。

   现在，如果您只是掷硬币，您要么获胜，要么最终获得2头和2头的状态。因此，另一个D A D获胜。

所以

D A D 1 D A D

总是胜利！

我不懂英语，但是在法语中这是自动机的经典作品，称为“ Le barman aveugle”（盲人调酒师）。关于此问题的页面很多。例如： This page

编辑：我刚刚在Wikipedia上发现了一个英文页面

Answer 2

请注意，在每一个回合中，都有准确的2个子组获胜。子集总数为2^4=16。因此，如果您随机选择一个子集，其中宇宙为2/16=1/8，而{1, 2, 3, 4}表示您面前的硬币，1随时都有2获胜的可能性。 1}}的邻居按顺时针顺序等等。

如果回合数不受限制，则一种获胜策略是反复“猜测”一部分硬币以进行翻转。在前n个回合内获胜的概率为1 - (7/8)^n。概率在n中严格增加，在1中渐近。您将赢得p.a.s。

您的举动彼此独立：您的策略未包含前几轮的任何信息。

您的对手没有任何应对您努力的策略。翻转桌子相当于重新标记从中提取硬币的硬币。您在选择子集时不会利用标签，因此对手的行为无法挫败您的策略。特别是，在您第k次转弯之后，您依次转而k+1的每个子集选择都有相同的可能性发生，并且不取决于对手的行动。

准确地说，重新标记并不是完全任意的-只能通过旋转表格来实现4中可能的4^4=256中的2/(16-2)=1/7。同样，虽然这可能意味着对您而言更有效的策略，但是由于您没有利用这些信息，因此不会损害您。

精炼

永远不要选择0或4个硬币作为您的子集，因为这永远不会是一个成功的举动（如果从这样的配置开始，这些举动只会产生一组顶部相同的硬币。）因此，即时获胜的概率现在为n，而在最初的1 - (6/7)^n回合内获胜的概率变为{{1}}。这种改进对策略背后的一般推理没有影响。