如何考虑Python的负数按位运算？

Question

我发现很难考虑Python（和Python3）的无限精度负数和按位运算。它不是32位或64位。可以将左侧的1视为“无限多个”。它不是很明确，这就是为什么有时很难考虑它如何工作的原因。

似乎可行的一种方法是：总是做得更多，例如，如果您要处理具有67位的正整数，那么只需考虑负数具有96位或128的运算就可以了位。这是思考的正确方法吗？规格中是否有任何说明其工作方式或应该考虑的内容？ （例如内部实现只考虑了正整数，而只考虑了负数为“在左边还有1位”？）

Answer 1

您应该认为它们具有无限多个1位。概括地说，two's complement二进制表示形式具有无限多个1；并非可以根据需要添加更多的1，但是这些1 已经已经成为数字表示方式的一部分。

实际上没有真正存储在内存中的是无数个事实，因此，当您考虑这一点时，应该忽略内存的限制，直到遇到您 em>是必须编写实现的人。如果您只是想从概念上理解这一点，则无需考虑诸如备用位之类的事情，而且我认为这样做不一定有帮助。

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二进制数代表2的幂的和，例如：

11001 ₂ = 2 ⁴ + 2 ³ + 0 + 0 + 2 ⁰

数字-1由无限的1s序列表示，并向左无限远地延伸：

... 1111 ₂ = ... + 2 ³ + 2 ² + 2 ¹ + 2 ⁰

这在无穷级数的通常意义上是无稽之谈，但是有充分的理由将结果定义为-1。直观上最吸引人的原因是，按照加法算法将1加1会发生什么：

  ...111111111
+            1
  ――――――――――――
= ...000000000 (result)
  ――――――――――――
  ...11111111  (carry)

在最右边的列中有1 + 1，即2，或二进制形式的10 ₂ ，因此您写0并在左边的下一列中携带1。然后在该列中，您有一个1加一个进位的1，所以您写0并再携带一个1 ...，依此类推，依次为 ad infinitum 。结果在每个位置都为0。因此，... 11111 ₂ 必须表示为-1，因为我们遵循该算法将1加起来，所以表示为0。

如果这还不能令人满意，则还有其他原因应将... 11111 ₂ 解释为-1的表示形式：

• 无限和1 + 2 + 4 + 8 + ...是一个几何级数;常数比为r的几何级数的公式为1 /（1-r）。此公式仅在-1
• 无限和1 + 2 + 4 + 8 + ...实际上确实在2-adic norm中收敛为-1。
• 结果-1也可以通过其他定义获得，包括Euler summation和as noted by Wikipedia，它们都是 stable 和 linear 将该和与结果∞或-1相关。

我之所以提到这些，还因为它们暗示某些属性仍然适用于算术。运用通常的算法进行加，减和乘以“无穷大”，可以得出明智的结果，服从于算术的通常性质，如关联性，可交换性和分布性。

Answer 2

有很多方法可以实现无限精度，但是您应该在此处提出实际情况以获得答案。

我也不认为您不了解左侧无限多个1的概念。 正整数：将未保存的位回退为0，从最低有效位保存所有1位 负整数：将未保存的位回退为1，从最低有效位保存所有0位

当您需要对2个无限精度的对象执行按位运算时，也只需对后备位进行操作。 示例：

-25 ^ -1029
-25 = -1 - 8 - 16: 11100(+infinitely many unsaved 1's beyond these 5 saved bits)
-1029 = -1 - 4 - 1024: 11011111110(+infinitely many unsaved 1's beyond these 11 saved bits)
Take XOR, you have to fill more 1's to align the longer one. So it is:
11100111111(+infinitely many unsaved 1's beyond this)
^
11011111110(+infinitely many unsaved 1's beyond this)
=
00111000001(+infinitely many unsaved 0's beyond this)
= 4 + 8 + 16 + 1024 = 1052

从您的问题中我不认为您真的需要有关Python如何实现此目的的技术细节...