Question

在the current version of the Software Foundations中，相关解释是故意留有余地的。

首先，我们使用了关键字Theorem而不是Example。这种差异主要是风格问题；关键字 Example和Theorem（还有其他一些，包括Lemma， Fact和Remark）对Coq的意义差不多。

（我将用来表示不确定性的措辞加粗。）

在an earlier version of, evidently, the same writing中，它被强加：

该定理和证明的形式与上面的示例几乎完全相同：唯一的不同是我们添加了量词∀ n:nat，而我们使用了关键字Theorem Example中。的确，后者的差异纯粹是风格问题。关键字Example和Theorem（以及其他一些关键字，包括Lemma，Fact和Remark）的含义完全相同给Coq的事情。

（我用粗体字表达了力量）。

从the official documentation看，所有这些单词以及更多单词都属于同一语法类别«断言关键字»：

assertion_keyword  ::=  Theorem | Lemma
                        Remark | Fact
                        Corollary | Property | Proposition
                        Definition | Example

还有另外两个部分说明了这些关键字的工作方式：«Definitions»和«Assertions and proofs»。简而言之：

定义通过名称与术语的关联来扩展环境。

—并且：

断言声明了一个命题（或类型），该命题（或类型的居民）是使用战术以交互方式构建的。

但是，据我所知，一个定理也扩展了环境，并且可以使用策略构建示例。因此，我看不出这些地方有什么不同。但是软件基金会是一本聪明的书。如果他们选择不确定，一定有原因吗？

Answer 1

到目前为止，差异很小，可以总结为：

Theorem/Example/Definition/...确实在文档中产生了不同的条目；这是最相关的差异。
对于非交互模式，某些格式，例如Theorem不支持语法格式Theorem foo := nat.，例如Definition支持这种语法格式。

另一个重要的区别是您是否使用交互模式。就是说：

Definition foo : Type := nat.

和

Definition foo : Type. Proof. apply nat. Qed.

由于第二个创建了交互式证明，因此将采用略有不同的代码路径；定义发送到内核时的代码路径有些不同，但是Coq 8.12应该为所有实际目的统一它们，只是将第二个证明标记为不透明。

Answer 2

我看到的一个区别是Definition可以给出立即定义，而Lemma和Theorem不能给出。

Definition one := 1.

Lemma two := 2. (* syntax error *)
Theorem three := 3. (* syntax error *)

其余的只有Example有用。

Remark four := 4. (* syntax error *)
Fact five := 5. (* syntax error *)
Corollary six := 6. (* syntax error *)
Property seven := 7. (* syntax error *)
Proposition eight := 8. (* syntax error *)
Example nine := 9. (* works! *)

定义和定理之间有什么区别？

2 个答案: