Question

我正在寻找在MATLAB中解决以下问题的方法，但不知道要使用哪个命令。

找到一个矩阵B，s.t. A * B = I和0 <= B * a <= b

其中A和B是矩阵，a和b是向量。我是单位矩阵。

知道使用什么吗？ fsolve无效，我不知道该如何在linprog中表达。

示例：

A = [1 0 -1; 0 1 1];
a = [8; 6];
b = [15; 10; 10];

使用cvx的解决方案：

cvx_begin
variable B(3,2)
min (B)
subject to
    A*B == diag(ones(2,1));
    0 <= B*a;
    b >= B*a;
cvx_end

Answer 1

为了解决linprog的问题，您必须列出：

平等
不平等

所以我们有六个未知数：

B = [x1 x2
     x3 x4
     x5 x6]

不平等是：

和

以linprog (A*x <= b)支持的格式为我们提供

A = [8  6  0  0  0  0
     0  0  8  6  0  0
     8  6  0  0  8  6
    -8 -6  0  0  0  0
     0  0 -8 -6  0  0
     0  0  0  0 -8 -6];

b = [15 10 10 0 0 0]

注意到，为了转换>=0中的<=0，已将-1的两边相乘。

等式是：

以linprog (Aeq*x == beq)支持的格式为我们提供

Aeq = [1  0  0  0 -1  0
       0  1  0  0  0 -1
       0  0  1  0  1  0
       0  0  0  1  0  1]

beq = [1 0 0 1]

我们可以认为所有变量都具有相同的“权重”，我们的目标函数可以由f = [1 1 1 1 1 1]定义。但是，如果您更改这些权重，它也将起作用（并将提供另一种解决方案）。您可以将其视为6D空间的形状，可以在其中压缩或拉伸某些尺寸（但不能弯曲）。例如，f = [1 0.25 1 1 -1 1/2]也是一个选项...

f = [1 1 1 1 1 1] %which correspond to [x1 x2 x3 x4 x5 x6]

s = linprog(f, A,b,Aeq,beq,-10,10) %solve the problem with arbitrary lower and upper boundary.

一个可能的结果：

给予：

B = [10 -12
     9   13
     9   -12]

自动解决较大的问题：

% B Matrix size
s1 = 3;
s2 = 2;

% Variable
A  = [1 0 -1; 0 1 1];
B  = sym('X', [s1 s2])
ax = [8; 6];
bx = [15; 10; 10];

% Convert linear equations to matrix form
[Aeq,beq] = equationsToMatrix(A*B == eye(s2))
[A1,b1]   = equationsToMatrix(B*ax == bx)
[A2,b2]   = equationsToMatrix(-B*ax == 0)

% Solve the problem
%      (      f      ,          A            ,            b           ,       Aeq  ,      beq  ,  lb,ub)
linprog(ones(s1*s2,1),[double(A1);double(A2)], [double(b1);double(b2)], double(Aeq),double(beq), -10,10)

Answer 2

您可能会遇到两种不同的情况：

在您的平等约束下

A * B = I

我认为您已经可以使用Moore-Penrose inverse矩阵（即B（在MATLAB中）或pinv（在R中）来求解ginv：

B = pinv(A);

或

B <- ginv(A)

由于Moore-Penrose逆的唯一性，您需要验证条件的已解决B

0 <= B * a <= b

如果使用上述方法违反了不平等约束，则可以尝试以下方法（在MATLAB中加载CVX或在R中加载CVXR）：

不幸的是，我的计算机上没有MATLAB，但是我尝试使用CVXR语言来R，但效果很好。也许您需要对语法进行少量修改或翻译成MATLAB版本。

下面是一个示例，向您展示如何提出问题：

# given matrices
A <- matrix(c(1,0,-1,0,1,1),nrow = 2,byrow = TRUE)
a <- matrix(c(8,6))
b <- matrix(c(15,10,10))

# formulate optimization problem and solve it
library(CVXR)
B <- Variable(3,2)
obj <- Minimize(norm(A%*%B - diag(c(1,1)),"2"))
cons <- list(B%*%a >= 0, b>=B%*%a )
problem <- Problem(obj,cons)
res <- solve(problem)

这样

> res$getValue(B)
            [,1]      [,2]
[1,]  0.90183254 0.6467117
[2,]  0.09816746 0.3532883
[3,] -0.09816746 0.6467117

查找满足条件的矩阵

2 个答案: