需要反向误差函数的代码

Question

有谁知道我在哪里可以找到“反向错误函数？”的代码。 Freepascal / Delphi会更好，但C / C ++也可以。

TMath / DMath库没有它:(

Answer 1

这是erfinv()的实现。请注意，要使其正常运行，您还需要良好地实现erf()。

function erfinv(const y: Double): Double;

//rational approx coefficients
const
  a: array [0..3] of Double = ( 0.886226899, -1.645349621,  0.914624893, -0.140543331);
  b: array [0..3] of Double = (-2.118377725,  1.442710462, -0.329097515,  0.012229801);
  c: array [0..3] of Double = (-1.970840454, -1.624906493,  3.429567803,  1.641345311);
  d: array [0..1] of Double = ( 3.543889200,  1.637067800);

const
  y0 = 0.7;

var
  x, z: Double;

begin
  if not InRange(y, -1.0, 1.0) then begin
    raise EInvalidArgument.Create('erfinv(y) argument out of range');
  end;

  if abs(y)=1.0 then begin
    x := -y*Ln(0.0);
  end else if y<-y0 then begin
    z := sqrt(-Ln((1.0+y)/2.0));
    x := -(((c[3]*z+c[2])*z+c[1])*z+c[0])/((d[1]*z+d[0])*z+1.0);
  end else begin
    if y<y0 then begin
      z := y*y;
      x := y*(((a[3]*z+a[2])*z+a[1])*z+a[0])/((((b[3]*z+b[3])*z+b[1])*z+b[0])*z+1.0);
    end else begin
      z := sqrt(-Ln((1.0-y)/2.0));
      x := (((c[3]*z+c[2])*z+c[1])*z+c[0])/((d[1]*z+d[0])*z+1.0);
    end;
    //polish x to full accuracy
    x := x - (erf(x) - y) / (2.0/sqrt(pi) * exp(-x*x));
    x := x - (erf(x) - y) / (2.0/sqrt(pi) * exp(-x*x));
  end;

  Result := x;
end;

如果您还没有erf()的实现，那么您可以尝试从Numerical Recipes转换为Pascal。但是，精确度加倍并不准确。

function erfc(const x: Double): Double;
var
  t,z,ans: Double;
begin
  z := abs(x);
  t := 1.0/(1.0+0.5*z);
  ans := t*exp(-z*z-1.26551223+t*(1.00002368+t*(0.37409196+t*(0.09678418+
    t*(-0.18628806+t*(0.27886807+t*(-1.13520398+t*(1.48851587+
    t*(-0.82215223+t*0.17087277)))))))));
  if x>=0.0 then begin
    Result := ans;
  end else begin
    Result := 2.0-ans;
  end;
end;

function erf(const x: Double): Double;
begin
  Result := 1.0-erfc(x);
end;

Answer 2

科学家和工程师的Pascal程序具有高斯误差函数（erf）及其补码erfc =（1-errf），但不具有误差函数的逆。显然，你不只需要1 / ErrF。反函数x = erfinv（y）满足y = erf（x）。

http://infohost.nmt.edu/~armiller/pascal.htm

错误功能及其补充，如下表所示。

同样，错误函数补语的定义是1-ErrF，而不是ErrF^-1，但这必须让你接近：

http://infohost.nmt.edu/~es421/pascal/list11-3.pas

我发现了这个有趣的实现（语言未知，我猜它是matlab）。也许它和它的系数可以帮助你：

http://w3eos.whoi.edu/12.747/mfiles/lect07/erfinv.m

另一个PDF： http://people.maths.ox.ac.uk/~gilesm/files/gems_erfinv.pdf

相关摘要：

表1：计算y = erfinv（x）的伪代码，其中p1（t）... p6（t）代表 t的第1到第6个多项式函数：

a = |x|        
if a > 0.9375 then
t = sqrt( log(a) )
y = p1(t) / p2(t)
else if a > 0.75 then
y = p3(a) / p4(a)
else
y = p5(a) / p6(a)
end if
if x < 0 then
y = −y
end if

显然，库代码通过近似来起作用，它的工作量较少。有时近似值小于6位小数精度，我读过。

许多人用作参考的

Fortran代码是here，它引用了"Rational Chebyshev approximations for the error function“WJ Cody，Math.Comp。，1969，PP.631- 638：

Answer 3

math非常复杂，但有一个很好的近似描述here（警告：PDF），其中包括Maple代码。不幸的是，它涉及一个“解决x”步骤，可能会对你没用。

Answer 4

Boost似乎将其作为error_inv，所以请查看代码。

Answer 5

我已经使用了这个，我认为它相当准确和快速（通常是循环的2次迭代），但当然需要注意。 NormalX假设0 <= Q <= 1，如果该假设不成立，则可能给出愚蠢的答案。

/* return P(N>X) for normal N */
double  NormalQ( double x)
{   return 0.5*erfc( x/sqrt(2.0));
}

#define NORX_C0   2.8650422353e+00
#define NORX_C1   3.3271545598e+00
#define NORX_C2   2.7147548996e-01
#define NORX_D1   2.8716448975e+00
#define NORX_D2   1.1690926940e+00
#define NORX_D3   4.7994444496e-02
/* return X such that P(N>X) = Q for normal N */
double  NormalX( double Q)  
{
double  eps = 1e-12;
int signum = Q < 0.5;
double  QF = signum ? Q : (1.0-Q);
double  T = sqrt( -2.0*log(QF));
double  X = T - ((NORX_C2*T + NORX_C1)*T + NORX_C0)
                    /(((NORX_D3*T + NORX_D2)*T + NORX_D1)*T + 1.0);
double  SPI2 = sqrt( 2.0 * M_PI);
int i;
    /* newton's method */
    for( i=0; i<10; ++i)
    {
    double  dX  = (NormalQ(X) - QF)*exp(0.5*X*X)*SPI2;
            X += dX;
            if ( fabs( dX) < eps)   
            {   break;
            }
    }
    return signum ? X : -X;
}

Answer 6

function erf(const x: extended): extended;
var
  n: integer;
  z: extended;
begin
  Result := x;
  z := x;
  n := 0;

  repeat
    inc(n);
    z := -z * x * x * (2 * n - 1) / ((2 * n + 1) * n);
    Result := Result + z;
  until abs(z) < 1E-20;

  Result := Result * 2 / sqrt(pi);
end;

function erfinv(const x: extended): extended;
var
  n: integer;
  z: extended;
begin
  Result := 0;
  n := 0;

  repeat
    inc(n);
    z := (erf(Result) - x) * sqrt(pi) / (2 * exp(-Result * Result));
    Result := Result - z;
  until (n = 100) or (abs(z) < 1E-20);

  if abs(z) < 1E-20 then
    n := -20
  else
    n := Floor(Log10(abs(z))) + 1;

  Result := RoundTo(Result, n);
end;

Answer 7

这是我从spe中获得的。对我来说，看起来他们试图通过将所有功能拖入一个大型的polynomal来加快速度。请记住，这是386时代的代码

// Extract from package Numlib in the Free Pascal sources (http://www.freepascal.org)
// LGPL-with-static-linking-exception, see original source for exact license.
// Note this is usually compiled in TP mode, not in Delphi mode.

Const highestElement = 20000000;

Type ArbFloat = double;  // can be extended too.
     ArbInt   = Longint;
     arfloat0   = array[0..highestelement] of ArbFloat;

function spesgn(x: ArbFloat): ArbInt;

begin
  if x<0
  then
    spesgn:=-1
  else
    if x=0
    then
      spesgn:=0
    else
      spesgn:=1
end; {spesgn}

function spepol(x: ArbFloat; var a: ArbFloat; n: ArbInt): ArbFloat;
var   pa : ^arfloat0;
       i : ArbInt;
    polx : ArbFloat;
begin
  pa:=@a;
  polx:=0;
  for i:=n downto 0 do
    polx:=polx*x+pa^[i];
  spepol:=polx
end {spepol};

function speerf(x : ArbFloat) : ArbFloat;
const

        xup = 6.25;
     sqrtpi = 1.7724538509055160;
     c : array[1..18] of ArbFloat =
     ( 1.9449071068178803e0,  4.20186582324414e-2, -1.86866103976769e-2,
       5.1281061839107e-3,   -1.0683107461726e-3,   1.744737872522e-4,
      -2.15642065714e-5,      1.7282657974e-6,     -2.00479241e-8,
      -1.64782105e-8,         2.0008475e-9,         2.57716e-11,
      -3.06343e-11,           1.9158e-12,           3.703e-13,
      -5.43e-14,             -4.0e-15,              1.2e-15);

     d : array[1..17] of ArbFloat =
     ( 1.4831105640848036e0, -3.010710733865950e-1, 6.89948306898316e-2,
      -1.39162712647222e-2,   2.4207995224335e-3,  -3.658639685849e-4,
       4.86209844323e-5,     -5.7492565580e-6,      6.113243578e-7,
      -5.89910153e-8,         5.2070091e-9,        -4.232976e-10,
       3.18811e-11,          -2.2361e-12,           1.467e-13,
      -9.0e-15,               5.0e-16);

  var t, s, s1, s2, x2: ArbFloat;
         bovc, bovd, j: ArbInt;
begin
  bovc:=sizeof(c) div sizeof(ArbFloat);
  bovd:=sizeof(d) div sizeof(ArbFloat);
  t:=abs(x);
  if t <= 2
  then
    begin
      x2:=sqr(x)-2;
      s1:=d[bovd]; s2:=0; j:=bovd-1;
      s:=x2*s1-s2+d[j];
      while j > 1 do
        begin
          s2:=s1; s1:=s; j:=j-1;
          s:=x2*s1-s2+d[j]
        end;
      speerf:=(s-s2)*x/2
    end
  else
    if t < xup
    then
      begin
        x2:=2-20/(t+3);
        s1:=c[bovc]; s2:=0; j:=bovc-1;
        s:=x2*s1-s2+c[j];
        while j > 1 do
          begin
            s2:=s1; s1:=s; j:=j-1;
            s:=x2*s1-s2+c[j]
          end;
        x2:=((s-s2)/(2*t))*exp(-sqr(x))/sqrtpi;
        speerf:=(1-x2)*spesgn(x)
      end
    else
      speerf:=spesgn(x)
end;  {speerf}

function spemax(a, b: ArbFloat): ArbFloat;
begin
  if a>b
  then
    spemax:=a
  else
    spemax:=b
end; {spemax}

function speefc(x : ArbFloat) : ArbFloat;
const

   xlow = -6.25;
  xhigh = 27.28;
      c : array[0..22] of ArbFloat =
      ( 1.455897212750385e-1, -2.734219314954260e-1,
        2.260080669166197e-1, -1.635718955239687e-1,
        1.026043120322792e-1, -5.480232669380236e-2,
        2.414322397093253e-2, -8.220621168415435e-3,
        1.802962431316418e-3, -2.553523453642242e-5,
       -1.524627476123466e-4,  4.789838226695987e-5,
        3.584014089915968e-6, -6.182369348098529e-6,
        7.478317101785790e-7,  6.575825478226343e-7,
       -1.822565715362025e-7, -7.043998994397452e-8,
        3.026547320064576e-8,  7.532536116142436e-9,
       -4.066088879757269e-9, -5.718639670776992e-10,
        3.328130055126039e-10);

  var t, s : ArbFloat;
begin
  if x <= xlow
  then
    speefc:=2
  else
  if x >= xhigh
  then
    speefc:=0
  else
    begin
      t:=1-7.5/(abs(x)+3.75);
      s:=exp(-x*x)*spepol(t, c[0], sizeof(c) div sizeof(ArbFloat) - 1);
      if x < 0
      then
        speefc:=2-s
      else
        speefc:=s
    end
end {speefc};