Question

给定是大小为n的集合S，其被划分为大小为n1，...，nk的类（s1，...，sk）。当然，它认为n = n1 + ... + nk。

我感兴趣的是找出可以组合此分区元素的方式的数量，以便每个组合恰好包含每个类的一个元素。

因为我可以从s1中选择n1个元素，从s2中选择n2个元素，所以我正在为任意n1，... nk寻找max（n1 * .. * nk）的解决方案，因为它保持n1 +。。+ NK = N

我觉得这是一个线性优化问题，但是自从我将这些东西作为本科生学习以来已经太久了。我希望有人记得如何计算这个。

Answer 1

您是否正在寻找每个分区中包含一个元素的组合数量？

那只是n1 * n2 * ... * nk。

编辑：你似乎也在问一个单独的问题：

给定N，如何指定n1，n2，...，nk使其产品最大化。这实际上不是线性优化问题，因为你的变量是相乘的。

它可以通过一些微积分来解决，即通过使用拉格朗日乘数在每个变量中使用约束来获取部分衍生物。

结果是n1 .. nk应该尽可能接近相同的大小。

if n is a multiple of k, then n_1 = n_2 = ... = n_k = n/k

otherwise, n_1 = n_2 = ... = n_j = Ceiling[n/k]
      and  n_j+1 = ... = n_k = floor[n/k]

基本上，我们尝试尽可能均匀地将元素分布到分区中。如果它们均匀分配，那很好。如果没有，我们尽可能均匀地划分，并且无论剩下什么，我们都为第一个分区提供额外的元素。（不必是第一个分区，这个选择相当随意。）这样，任何两个分区拥有的元素数量的差异最多只有一个。

血腥细节：

这是我们希望最大化的产品功能：

P = n1 * n2 * ... nK

我们使用拉格朗日乘数定义一个新函数：

Lambda = P + 1（N - n1 - n2 ... -nk）

并在每个k n_i变量中采用偏导数：

dLambda / dn_i = P / n_i - l

和l：

dLambda / dl = N - n1 -n2 ... -nk

设置所有偏导数= 0，我们得到一个k + 1方程组，当我们求解它们时，我们得到n1 = n2 = ... = nk

一些有用的链接：

Answer 2

floor(n/k)^(k - n mod k)*ceil(n/k)^(n mod k)

- MarkusQ

P.S。对于你给出的S = {1,2,3,4}，n = 4，k = 2的例子，这给出了：

floor(4/2)^(2 - 4 mod 2)*ceil(4/2)^(4 mod 2)
floor(2)^(2 - 0)*ceil(2)^(0)
2^2 * 2^0
4 * 1
4

......如你所愿。

为了阐明，该公式给出了具有最大可能排列数的分区所产生的排列数。当然会有其他不太理想的分区。

对于给定的边界，具有最大面积的矩形是最接近正方形的矩形（并且在较高维度中也是如此），这意味着您希望边的长度尽可能接近（例如，所有平均长度都向上或向下舍入）。然后可以看出公式为：

   (length of short sides)^(number of short sides)
times
   (length of long sides)^(number of long sides)

这只是满足此约束的超矩形的体积。

请注意，以这种方式查看时，它还会告诉您如何构建最大分区。