检查是否可以从DG中的节点S到达节点T

Question

在无向图中，可以很容易地将图预划分为组件，并用标识组件的数字标记它们。因此，如果两个节点都具有相同的标签，则检查是否可以通过从S的路径到达节点T是正确的。

是否可以在有向图中执行类似的操作？基本上，要预先计算然后做一个简单的查找，是否可以在没有任何DFS的情况下从S到达T？

Answer 1

除了可及性矩阵及其优化的最幼稚的实现（这是O（n ^ 2）的复杂性。恐怕没有固定的时间查找。

尽管有一些有趣的想法。我将在下面列出其中两个：

1）找到一组覆盖原始图G的树。使得

每个顶点V的索引如下：

For each t_i in T

    V is indexed by (t_i, a, b) where a is the smallest postorder of descendants in the tree and b is the postorder of V in the tree.

为了查询到达率（u，v），我们要查找是否存在一对（t_i，a_u，b_u）和（t_i，a_v，b_v）< / em>，这样 u_a <= v_b 。有关详细信息，请参见

  

R。 Agrawal，A。Borgida和H.V. Jagadish。高效管理   大数据和知识库中的传递关系。在   1989年ACM SIGMOD国际会议论文集   数据管理（SIGMOD 1989），1989。

然后，问题就减少到如何找到覆盖图G的最小树集T。这样做的方法有多种。

2）另一种方法是n-hop（请参阅SODA 02出版物）

  

伊迪丝·科恩（Edith Cohen），伊兰·哈珀林（Eran Halperin），海姆·卡普兰（Haim Kaplan），乌里·茨维克（Uri Zwick）通过2跳标签查询可到达性和距离

Let G = (V, E) be a directed graph. 
For v in V
    L(v) = (L_in(v), L_out(v)), such that L_in(v), L_out(v) ⊆ V and there is a path from every x ∈ L_in(v) to v and from v to every x ∈ L_out(v).  

然后将问题减少为找到最佳的两跳覆盖

  

让G =（V，E）为图。对于每个u，v∈V，令P_uv为a   u到v的路径集合（对于无向图，我们有P_uv≡   P_vu）。令P = {P_uv}。我们将一跳定义为一对（h，u），其中h是一个   G和u∈V中的路径是h的端点之一。我们称你为   跳的句柄。跃点H的集合被称为2跳覆盖   如果每个u，v∈V使得Puv 6 =φ，则存在一个路径p∈   Puv和两跳（h1，u）∈H和（h2，v）∈H，使得p = h1h2，   即p是h1和h2的串联。封面尺寸是   | H |，H中的跳数。