Question

更新：组合和无人值守最终是我所需要的。以下链接帮助了很多：

http://msdn.microsoft.com/en-us/library/aa289166(v=vs.71).aspx

http://www.codeproject.com/Articles/21335/Combinations-in-C-Part-2

问题
给出N个符号的列表，说{0,1,2,3,4 ...} 和NCr这些组合

例如。 NC3将生成：

0 1 2  
0 1 3  
0 1 4  
...  
...  
1 2 3  
1 2 4  
etc...

对于第i个组合（i = [1 .. NCr]）我想确定一个符号是否是其中的一部分。
Func（N，r，i，s）=真/假或0/1
例如。从上面继续第一个组合包含0 1 2但不包含3

F(N,3,1,"0") = TRUE  
F(N,3,1,"1") = TRUE  
F(N,3,1,"2") = TRUE  
F(N,3,1,"3") = FALSE

可能有帮助或相关的当前方法和措施。
与矩阵的关系对于r = 2，例如。在图4C2中，组合是2D矩阵的上半部分（或下半部分）

    1,2 1,3 1,4  
    ----2,3 2,4  
    --------3,4

对于r = 3，它是3D矩阵或立方体的一角对于r = 4它是4D矩阵的“角”，依此类推。

另一种关系
理想情况下，解决方案的形式类似于以下答案： Calculate Combination based on position

长度为r的组合列表中的第n个组合（允许重复），可以计算第i个符号
使用整数除法和余数：

n / r ^ i％r =（0表示第0个符号，1表示第1个符号....等）

例如对于3个符号的第6个梳子，第0个第1个和第2个符号是：

i = 0 => 6 / 3^0 % 3 = 0   
i = 1 => 6 / 3^1 % 3 = 2   
i = 2 => 6 / 3^2 % 3 = 0

第6梳子将是0 2 0

我需要类似的东西，但不允许重复。

感谢您关注此问题：] 凯文。

Answer 1

我相信您的问题是unranking combinations或子集的问题。

我将从包Combinatorica向您提供Mathematica中的实现，但上面的Google链接可能是一个更好的起点，除非您熟悉语义。

UnrankKSubset::usage = "UnrankKSubset[m, k, l] gives the mth k-subset of set l, listed in lexicographic order."

UnrankKSubset[m_Integer, 1, s_List] := {s[[m + 1]]}
UnrankKSubset[0, k_Integer, s_List] := Take[s, k]
UnrankKSubset[m_Integer, k_Integer, s_List] := 
       Block[{i = 1, n = Length[s], x1, u, $RecursionLimit = Infinity}, 
             u = Binomial[n, k]; 
             While[Binomial[i, k] < u - m, i++]; 
             x1 = n - (i - 1); 
             Prepend[UnrankKSubset[m - u + Binomial[i, k], k-1, Drop[s, x1]], s[[x1]]]
       ]

用法如下：

UnrankKSubset[5, 3, {0, 1, 2, 3, 4}]

   {0, 3, 4}

产生集合{0,1,2,3,4}的第6个（从0开始索引）长度为3的组合。

Answer 2

这个问题有一个非常有效的算法，它也包含在最近发表的文章中：
Knuth，计算机程序设计的艺术，第4A卷（第7.2.1.3节）。 / p>

由于您不关心生成组合的顺序，因此我们使用组合的词典顺序，其中每个组合以降序顺序列出。因此，对于r = 3,3个符号的前11个组合将是：210,310,320,321,410,420,421,430,431,432,510。这种排序的优点是枚举独立于N;实际上它是对来自{0,1,2，...}的3个符号的所有组合的枚举。

有一种标准方法可以直接生成 i 组合给定i，以便测试符号s是否是的一部分我是组合，你可以简单地生成并检查。

方法

r符号的多少组合以特定符号s开头？好吧，其余的r-1位置必须来自s符号0,1,2，...，s-1，所以它是（s选择r-1），其中（s选择r-1）或C（s，r） -1）是二项式系数，表示从s对象中选择r-1个对象的方式的数量。对于所有s都是如此， i 组合的第一个符号是最小的s，这样

Σ_{k = 0} ^s（k选择r-1）≥i。

一旦你知道第一个符号，问题就会减少到找到（i - Σ_{k = 0} ^s-1（k选择r-1）） - th r-1符号的组合，我们已经减去那些以小于s的符号开头的组合。

代码

Python代码（您可以更有效地编写C(n,r)，但这对我们来说足够快了）：

#!/usr/bin/env python

tC = {}
def C(n,r):
    if tC.has_key((n,r)): return tC[(n,r)]
    if r>n-r: r=n-r
    if r<0: return 0
    if r==0: return 1
    tC[(n,r)] = C(n-1,r) + C(n-1,r-1)
    return tC[(n,r)]

def combination(r, k):
    '''Finds the kth combination of r letters.'''
    if r==0: return []
    sum = 0
    s = 0
    while True:
        if sum + C(s,r-1) < k:
            sum += C(s,r-1)
            s += 1
        else:
            return [s] + combination(r-1, k-sum)

def Func(N, r, i, s): return s in combination(r, i)

for i in range(1, 20): print combination(3, i)
print combination(500, 10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000)

注意这是多快：它在不到0.5秒的时间内找到500字母的100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000th组合（以542开头）。

Answer 3

我编写了一个类来处理使用二项式系数的常用函数，这是您的问题所处的问题类型。它执行以下任务：

以任意N选择K到文件的格式输出所有K索引。 K索引可以用更具描述性的字符串或字母代替。这种方法使解决这类问题变得非常简单。
将K索引转换为已排序二项系数表中条目的正确索引。这种技术比依赖迭代的旧发布技术快得多。它通过使用Pascal三角形中固有的数学属性来实现。我的论文谈到了这一点。我相信我是第一个发现和发布这种技术的人，但我可能错了。
将已排序的二项系数表中的索引转换为相应的K索引。
使用Mark Dominus方法计算二项式系数，这样就不太可能溢出并使用更大的数字。
该类是用.NET C＃编写的，它提供了一种通过使用通用列表来管理与问题相关的对象（如果有）的方法。此类的构造函数采用名为InitTable的bool值，当为true时，将创建一个通用列表来保存要管理的对象。如果此值为false，则不会创建表。不需要创建表来执行上述4种方法。提供访问者方法来访问该表。
有一个关联的测试类，它显示了如何使用该类及其方法。它已经过2个案例的广泛测试，并且没有已知的错误。

要阅读此课程并下载代码，请参阅Tablizing The Binomial Coeffieicent。

此类可以轻松应用于您的问题。如果您具有二项式系数表的等级（或索引），则只需调用返回数组中K索引的类方法。然后，遍历返回的数组以查看是否有任何K-index值与您拥有的值匹配。很直接......

确定符号是否是第i个组合nCr的一部分

3 个答案:

方法

代码