Question

我正在这样做competetive programming task，尽管我认为我有一个渐近最优的解决方案，但仍然超出了时间限制。您需要注册一个帐户才能查看问题说明并提交，所以我将在这里重新声明：

给定范围[L，R]，找到该范围内具有奇数个奇数除数的整数的数量。

约束为1 <= L <= R <10 ^ 18，并且最多有10 ^ 5个这样的查询。

示例：

[1, 18]的解决方案是7，因为在该范围内有7个具有奇数除数的数字：

1 - (1)
2 - (1, 2)
4 - (1, 2, 4)
8 - (1, 2, 4, 8)
9 - (1, 3, 9)
16 - (1, 2, 4, 8, 16)
18 - (1, 2, 3, 6, 9, 18)

我的代码和想法：

我们知道除数成对出现，因此任何具有奇数除数的奇数都必须是平方数。除数为奇数的任何偶数都必须具有除数为奇数的奇数“基数”，而对于此“基数”，它必须像前面讨论的那样为平方数。

本质上，我们正在寻找O^2 * 2^N形式的数字，其中O是一些奇数。我将[L, R]的解决方案视为[1, R] - [1, L)，然后遍历所有2^N并获得可容纳该数字的O数。

# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
// number of numbers matching criteria on [1, n]
ll n_under(ll n){
    ll res = 0;
    while(n){
        res += (sqrt(n) + 1ll)/2ll;
        n /= 2ll;
    }
    return res;
}



int main(){
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(NULL);
    int q;
    cin >> q;
    for(int i = 1; i <= q; ++i){
        ll l, r;
        cin >> l >> r;
        cout << "Case " << i << ": " << (n_under(r) - n_under(l - 1)) << endl;
    }
    return 0;
}

我在第一个测试集中获得TLE，我不确定为什么。我正在寻找任何渐近改进或恒定因子优化。

Answer 1

诀窍是要注意这些数字是正方形还是2 *正方形。（或查找此类数字的前几个并检查OEIS）

知道了这一点，我们可以轻松地在O（1）中以间隔为单位计算此类数，因此我们可以在O（Q）中回答所有查询。

首先要计算范围[L，R]，我们可以计算范围[0，R]-[0，L-1]
对于[0，X]范围，我们可以注意到在此间隔内有sqrt（X）平方
类似于双平方，大约有sqrt（X / 2）这样的数字
在C ++中用于大量数字的Sqrt不够精确，因此我们可能需要为sqrt计算添加一些+ -1

示例代码（C ++）：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long

ll solve(ll x)
{
    ll sq = sqrt(x)+2;
    while(sq*sq > x)sq--;

    ll sq2 = sqrt(x/2)+2;
    while(2*sq2*sq2 > x)sq2--;

    return sq + sq2;
}

ll solve(ll l, ll r)
{
    return solve(r) - solve(l-1);
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
    ll q,l,r,cs=1;
    cin>>q;
    while(q--)
    {
        cin>>l>>r;
        cout<<"Case "<<cs++<<": "<<solve(l,r)<<"\n";
    }
}

[L，R]中具有奇数个奇数因子的数字数量

1 个答案: