矩阵形式主义NxN邻接矩阵

Question

让A是无向无权网络的NxN邻接矩阵，没有自环。令1为N个元素的列向量，都等于1。换句话说，1 =（1，1，...，1）T，其中上标T表示转置运算。使用矩阵形式主义（乘法常数，逐列乘法，转置和跟踪之类的矩阵运算等，但要避免总和符号Σ）来编写以下表达式：

a）向量k，其元素为所有节点i = 1，2，...，N的度ki。

b）网络中的边缘总数L。

d）网络中存在的三角形T的数量，其中三角形表示三个节点，每个节点通过链接与其他两个节点相连（提示：您可以使用矩阵的迹线）。

Answer 1

a）将邻接矩阵乘以1（您提到的向量） b）使用（1，1，…，1）*（来自a）T的向量，这将为您提供所有 邻接矩阵中的元素，即所有边的数量。 c）存在一个定理。设A为邻接矩阵， 然后A ^ k [i] [j]给出从节点i到节点j的长度为k的路径数。 如果然后计算A ^ 3并查看对角元素（i），则这些元素将为您提供从节点i到长度为3的自身的路径数，这些路径即所谓的三角形。 如果然后考虑所有排列，答案是sum（trace（A ^ 3））/ 6。