Question

我试图了解这种数据类型（方）如何表示平方矩阵。

type Square = Square' Nil
data Square' t a = Zero (t (t a) ) | Succ (Square' (Cons t) a)
data Nil a = Nil
data Cons t a = Cons a (t a)

所以。 t在这里是什么？我想这是上面声明的类型之一。我决定从最简单的开始，所以

Zero (Nil (Nil Int))

如果我将整数4作为值，这是矩阵(4)吗？

假设它是某种东西。现在，这是什么：

Succ ( Zero (Cons t) a)

如果我对t是正确的，那么也许这必须代表一些2×2矩阵，但是它的值是什么？

Succ (Zero (Cons Nil) a)

感谢您对我的方形矩阵理解的帮助。

Answer 1

让我们介绍一些非正式的概念来指导直觉。写T :> U表示T是具有一个或多个子情况的求和类型，而U是其中之一（至少对某些同构取模）。我们还将在类型之间使用=来表示同构。

因此，根据定义，我们有

Square a = Square' Nil a
:> { taking the Zero branch }
Nil (Nil a)
=
()

因此，这种情况表示空的“ 0x0”矩阵。

Square a = Square' Nil a
:> { taking the Succ branch }
Square' (Cons Nil) a
:> { taking the Zero branch }
Cons Nil (Cons Nil a)
=  { def of Cons }
(Cons Nil a, Nil (Cons Nil a))
=  { def of Cons }
((a, Nil a), Nil (Cons Nil a))
=  { def of Nil }
((a, ()), ())
=
a

所以，这是1x1矩阵。

Square a = Square' Nil a
:> { taking the Succ branch }
Square' (Cons Nil) a
:> { taking the Succ branch again }
Square' (Cons (Cons Nil)) a
:> { taking the Zero branch }
Cons (Cons Nil) (Cons (Cons Nil) a)
=
Cons (Cons Nil) (a, Cons Nil a)
=
Cons (Cons Nil) (a, a, Nil a)
=
Cons (Cons Nil) (a, a, ())
=
Cons (Cons Nil) (a, a)
=
((a,a), Cons Nil (a, a))
=
((a,a), (a,a), Nil (a, a))
=
((a,a), (a,a), ())
=
((a,a), (a,a))

所以，这是2x2矩阵。

我们现在应该能够发现一些模式。进入Succ分支，我们最终得到一种形式的

Square' (Cons (Cons (Cons (...(Cons Nil))))) a

最后一个Zero变成哪个，

F (F a)
  where F = (Cons (Cons (Cons (...(Cons Nil)))))

请注意，我们考虑了所有可能的情况，因此最终类型的确必须采用F (F a)的形式，其中某些F属于上述形式。

现在，我们可以看到F a与(a,a,a,....)是同构的，其中a的数量N恰好是{{ {1}}。因此，Cons将产生一个方矩阵（N元组的N元组=方矩阵）。

让我们通过归纳F个数字来证明这一点。对于零情况，我们有F (F a)，实际上，根据需要，零Cons出现了：

F = Nil

对于归纳情况，假设N个a的{{1}}是N个Nil a = ()的{{1}}。要证明的N + 1种情况将说明F a是Cons，具有N + 1个(a,a,...)。确实：

QED。

平方矩阵的嵌套数据类型

1 个答案: