Question

我现在正在学习Coq，在一个更大的证明中，我被以下子证明所困扰：

  Theorem sub : ∀ n m : nat, n ≤ m → n ≠ m → n < m.

或者，一旦展开：

  Theorem sub : ∀ n m : nat, n ≤ m → n ≠ m → S n ≤ m.

在这里，“ n≤m”的归纳定义如下：

  Inductive le : nat → nat → Prop :=
  | le_n : ∀ n : nat, le n n
  | le_S : ∀ n m : nat, (le n m) → (le n (S m)).

我还没走很远，但是我的尝试看起来像这样：

  Theorem sub : ∀ n m : nat, n ≤ m → n ≠ m → n < m.
  Proof.
    unfold lt.
    intro n.
    induction n.
    - induction m.
      + intros. exfalso. contradiction.
      + admit.
    - admit.
  Admitted.

在第一个归纳步骤（由第一个承认标记）中，归纳假设显示以下内容：

1 subgoal
m : nat
IHm : 0 ≤ m → 0 ≠ m → 1 ≤ m
______________________________________(1/1)
0 ≤ S m → 0 ≠ S m → 1 ≤ S m

我不确定如何利用这一假设来证明该目标。我希望能向正确的方向提供指导。

Answer 1

由于le被定义为归纳谓词，因此对它进行归纳比n更有意义。 le并没有引用0甚至没有引用S n（它确实包含S m），因此对n的归纳可能不是解决之道。归纳m 可能起作用，但这可能比必要的难。

在开始正式的证明之前，考虑一下如何非正式地证明这一点通常会有所帮助（尽管仍然使用相同的定义）。如果假设n ≤ m，那么根据lt的归纳定义，这意味着n和m相同，或者m是后继者m'和n的个数小于或等于m'（您知道为什么lt的定义暗示了这一点吗？）。在第一种情况下，我们将不得不使用附加假设n ≠ m来得出矛盾。在第二种情况下，我们甚至不需要它。 n ≤ m'表示S n ≤ S m'，因此自m = S m'以来，S n ≤ m即n < m。

对于形式化，我们必须在最后一行证明n ≤ m暗示S n ≤ S m的假设。您应该尝试类似的非正式分析来证明这一点。除此之外，非正式证明应易于直接形式化。 H: n ≤ m的案例分析只是destruct H.。

还有一件事。这不是必需的，但从长远来看通常可以提供帮助。在定义归纳类型（或谓词）时，如果您可以分解出在每个构造函数中使用相同方式的参数，则可以使归纳原理更强大。 le和n的使用方式已被普遍量化，并且两个构造函数都使用相同的方式。 le的每个实例都以le n开头。

  Inductive le : nat → nat → Prop :=
  | le_n : ∀ n : nat, le n n
  | le_S : ∀ n m : nat, (le n m) → (le n (S m)).

这意味着我们可以将该索引分解为参数。

  Inductive le' (n: nat) : nat → Prop :=
  | le_n' : le' n n
  | le_S' : ∀ m : nat, (le' n m) → (le' n (S m)).

这为您提供了一个更简单/更好的归纳原理。

le'_ind
     : forall (n : nat) (P : nat -> Prop),
       P n ->
       (forall m : nat, le' n m -> P m -> P (S m)) ->
       forall n0 : nat, le' n n0 -> P n0

将此与le_ind进行比较。

le_ind
     : forall P : nat -> nat -> Prop,
       (forall n : nat, P n n) ->
       (forall n m : nat, le n m -> P n m -> P n (S m)) ->
       forall n n0 : nat, le n n0 -> P n n0

基本上，这里发生的事情是，le_ind必须证明每个n的一切。使用le'_ind，您只需要针对所使用的特定n进行验证。有时可以简化证明，尽管对于定理的证明不是必需的。证明这两个谓词是等效的是一个很好的练习。

Coq：<和≤之间的证明关系

1 个答案: