为什么无符号n位整数的最大值为2 ^ n-1而不是2 ^ n？

Question

n - 位整数的最大值是2 ⁿ -1。为什么我们有“减1”？为什么最大只有2 ⁿ ？

Answer 1

-1是因为整数从0开始，但我们的计数从1开始。

因此，2^32-1是32位无符号整数（32位二进制数字）的最大值。 2^32是可能值的数量。

为了简化原因，请查看十进制。 10^2-1是2位十进制数（99）的最大值。因为我们直观的人类计数从1开始，但整数从0开始，10^2是值的数量（100）。

Answer 2

二进制文件中的

2^32：

1 00000000 00000000 00000000 00000000

二进制文件中的

2^32 - 1：

11111111 11111111 11111111 11111111

如您所见，2^32占用33位，而2^32 - 1是32位整数的最大值。

这里看似“一个一个”错误的原因是最低位代表一个而不是两个。所以 第一个 位实际上是2^0， 第二个 位是2^1，等...

Answer 3

二进制中的

2 ³² 是一个后跟32个零，总共 33 位。这不适合32位的int值。

Answer 4

在大多数编程语言中，0也是的数字。

Answer 5

从0到N的数字不是N.它们是N + 1。这对大多数人来说并不明显，因此许多程序都有错误，因为如果这个原因。

Answer 6

这是因为在计算中，数字从0开始。因此，如果您有32个地址线（2 ³² 可寻址字节），它们将在[0, 2^32)范围内。

Answer 7

如果您刚刚开始编程，我建议您查看signed number representations

上的这篇wiki文章

正如Vicente所说，减去1的原因是因为0也是一个包含的数字。举个简单的例子，有3位，你可以表示下面的非负整数

0 : 000
1 : 001
2 : 010
3 : 011
4 : 100
5 : 101
6 : 110
7 : 111

超出此范围的任何内容都需要超过3位数。因此，您可以表示的最大数字是2 ^ 3-1 = 7。因此，您可以将此扩展到任何n，并表示您可以在[0,2^n -1]范围内表达整数。现在你可以阅读那篇文章并理解不同的形式，并表示负整数等。

Answer 8

如果我问你最适合2位数的值是多少，你会说它是10 ² （100）或10 ² -1 （99）？显然是后者。因此，如果我问你最大的n - 位数是多少，那么它将是10 ⁿ -1。但为什么会出现“-1”？很简单，因为我们可以将2位数字中的0表示为00（但每个人只写0）。

让我们用任意基数10替换b。因此，对于给定的基数b，您可以表示的最大n - 位数是b ⁿ -1。使用32位（n = 32）base-2（b = 2）数字，我们看到最大值我们可以表示2 ³² -1。

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另一种思考方式是使用较小的数字。假设我们有一位数。你能告诉我它能代表的最大值是2 ¹ 还是2 ¹ -1？

Answer 9

在大多数编程语言中， integer是有符号值（参见two's complement）。

例如，在Java和.NET中，大多数左边的字节都是为sign：

保留的

• 0 =＆gt;正数或零数
• 1 =＆gt;负数

然后32-bit号码的最大值受2^31限制。添加-1后，我们会获得2^31 - 1。

为什么会出现-1？

使用无符号字节（8位）查看更简单的示例：

  1  1  1  1  1  1  1  1
128 64 32 16  8  4  2  1  <-- the most right bit cannot represent 2
--- --------------------
128 + 127 = 255 

正如其他人指出，由于1值，最右边的位的最大值可能为2，而不是0/1。

Int32.MaxValue = 2147483647 (.NET)

Answer 10

因为0也表示。您可以表示的数字量确实为2 ^ n，n位，但最大数量为2 ^ n-1，因为您必须以0开始计数，即每个位设置为0。

1位：0,1 对于2位：0,1,2,3 对于3位：0,1,2,3,4,5,6,7

等等。

Answer 11

在计算领域，我们从0开始计算。

Answer 12

  

为什么我们有“减1”？

回答这个问题：什么是 1位整数的最大值？

一位整数只能存储两个（2 ¹ ）值：0和1。最后一个值是1 ₂ = 1 ₁₀

两位整数只能存储四（2 ² ）值：00，01，{ {1}}和10。最后一个值是11 ₂ = 3 ₁₀

因此，当整数可以存储11时，值的最后一个值将为N，因为计数从零开始。

N-1位整数可以存储n 2 值。最后一位是n ⁿ 2

实施例： 一个字节可以存储-1 ⁸ （256）值。首先是2，最后是0

  

为什么最大值不是2n？

因为计数从零开始。查看任何255位整数的第一个值 例如字节：n

如果出现以下情况，这将非常令人困惑：
00000000表示00000001
2表示00000000

不会吗？ ; - ）