Question

我正在尝试编写一个程序来查找前N个自然数之和，即1 + 2 + 3 + .. + N的模为1000000009

我知道可以通过使用公式N * (N+1) / 2来完成此操作，但是我正在尝试找到一种递归函数来计算总和。

我尝试搜索网络，但对此没有任何解决办法。

实际上，这里的问题是数字N最多可以包含100000个数字。

所以，这是我到目前为止尝试过的。

首先，我尝试将数字分成长度为9的各个部分，然后将它们转换为整数，以便可以使用整数运算符执行算术运算。

例如，数字52562372318723712将被分为52562372和318723712。但是我没有找到一种方法来操纵这些数字。

然后我再次尝试编写如下函数：

def find_sum(n):
    # n is a string
    if len(n) == 1:
        # use the formula if single digit
        return int(int(n[0]) * (int(n[0]) + 1) / 2)

    # I'm not sure what to return here
    # I'm expecting some manipulation with n[0] 
    # and a recursive call to the function itself

    # I've also not used modulo here just for testing with smaller numbers
    # I'll add it once I find a solution to this
    return int(n[0]) * something + find_sum(n[1:])

我在这里找不到something。这样可以解决吗？还是有其他方法可以这样做？

注意：我更喜欢一种类似于上述功能的解决方案，因为我想修改此功能以满足我的其他要求，我想在问问这里之前先尝试一下。但是，如果不可能，任何其他解决方案也将有所帮助。

请给我任何解决的提示。

Answer 1

您最好的选择是只使用N*(N+1)/2公式-而是使用p模版。唯一棘手的部分是用2进行除法-这必须是2 mod p的反函数。对于p素数（或简单地为p奇数），这很容易计算：仅为(p+1)//2。

因此：

def find_sum(n,p):
    two_inv = (p+1)//2 #inverse of 2, mod p
    return ((n%p)*((n+1)%p)*two_inv)%p

例如：

>>> find_sum(10000000,1000000009)
4550000
>>> sum(range(1,10000001))%1000000009
4550000

请注意，如果您为p传递了偶数，则上述功能将失败。

在编辑上，正如@ user11908059所观察到的，可以省去乘以2的模逆。作为附加的好处，这种方法不再取决于模数是奇数：

def find_sum2(n,k):
    if n % 2 == 0:
        a,b = (n//2) % k, (n+1) % k
    else:
        a,b = n % k, ((n+1)//2) % k
    return (a*b) % k

O中第N个自然数的总和（N中的位数）

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