Question

问题陈述。

考虑map的定义：

Fixpoint map (xs: list nat): (nat -> nat) -> list nat := match xs with
| nil => fun _ => nil
| x::xs' => fun f => (f x) :: (map xs' f)
end.

它是这样的：

Coq < Eval simpl in map (1::2::3::List.nil) (fun x => x + 1).
     = 2 :: 3 :: 4 :: nil
     : list nat

如何扩展它以适用于任何类型？

例如，在Haskell中，我可以简单地编写如下：

map :: forall a b. [a] -> (a -> b) -> [b]
map xs = case xs of
    [ ]     -> \_ -> [ ]
    (x:xs') -> \f -> f x: map xs' f

但是在Coq中，我不知道该forall量词的放置位置。

我的努力。

The syntax reference这样解释了Fixpoint的语法：

Fixpoint ident binders {struct ident}^? : type^? := term

-显然，量词的语法中没有位置，该量词将 binders 和 type 上的类型变量绑定在一起。我尝试通过猜测来在forall到处放置，但是我无法使其起作用。

我可以看到如何使 type 部分在函数参数的结果类型中变为多态，而无需触及 binders 部分：

Fixpoint map (xs: list nat): forall B, (nat -> B) -> list B := match xs with
| nil => fun _ => nil
| x::xs' => fun f => f x :: (map xs' f)
end.

—但不幸的是，这还会产生一个错误，并且对我来说还很神秘：

In environment
map : list nat -> forall B : Type, (nat -> B) -> list B
xs : list nat
T : Type
The term "nil" has type "list ?A" while it is expected to have type
 "(nat -> T) -> list T".

所以，即使是这种简单的情况，我也没有解决方案。

那该怎么办？

Answer 1

在Coq中，Fixpoint命令只是fix术语构造函数的包装，它使我们能够定义匿名递归函数。 map的直接定义如下：

Require Import Coq.Lists.List.
Import ListNotations.

Definition map_anon : forall A B, (A -> B) -> list A -> list B :=
  fix map A B (f : A -> B) (l : list A) : list B :=
    match l with
    | [] => []
    | x :: l => f x :: map A B f l
    end.

从道德上讲，它等同于以下定义：

Fixpoint map A B (f : A -> B) (l : list A) : list B :=
  match l with
  | [] => []
  | x :: l => f x :: map A B f l
  end.

请注意，A和B被绑定为常规变量：在Coq中，类型和术语之间没有区别，并且这些声明使Coq推断其类型为Type。。定义不需要forall量词。

Answer 2

您可以在函数名称后列出所有参数，包括类型参数。您将把依赖于其他参数的所有参数放在它们所依赖的参数之后。

Fixpoint map (A B: Type) (xs: list A) (f: A -> B): list B :=
[...]

如果您更喜欢forall，则只需将所有内容（递归参数及其依赖的任何参数除外）移到:之后。

Fixpoint map (A B: Type) (xs: list A): forall (f: A -> B), list B :=
[...]

这里要注意两件事。由于f之后的所有内容都不取决于f，因此可以使用->表示法。这纯粹是表示法，没有任何语义差异。

Fixpoint map (A B: Type) (xs: list A): (A -> B) -> list B :=
[...]

要注意的另一件事是，当参数位于:之后时，我们必须定义一个函数，而不仅仅是list B中的某个东西。

Fixpoint map (A B: Type) (xs: list A): (A -> B) -> list B :=
fun f => [...]

这就是为什么您收到错误The term "nil" has type "list ?A" while it is expected to have type "(nat -> T) -> list T".的原因。我们需要一个函数，而不仅仅是list B类型的nil类型的函数。

如何创建多态的“ map xs f”函数？

问题陈述。

我的努力。

那该怎么办？

2 个答案: