Question

我正在尝试在LPSolve IDE中解决此问题：

/* Objective function */
min: x + y;

/* Variable bounds */
r_1: 2x = 2y;
r_2: x + y = 1.11 x y;
r_3: x >= 1;
r_4: y >= 1;

但是我得到的答复是：

Model name:  'LPSolver' - run #1
Objective:   Minimize(R0)

SUBMITTED
Model size:        4 constraints,       2 variables,            5 non-zeros.
Sets:                                   0 GUB,                  0 SOS.

Using DUAL simplex for phase 1 and PRIMAL simplex for phase 2.
The primal and dual simplex pricing strategy set to 'Devex'.

The model is INFEASIBLE
lp_solve unsuccessful after 2 iter and a last best value of 1e+030

当x=1.801801802和y=1.801801802是这里可能的解决方案时，怎么会这样？

Answer 1

如何找到解决方案

让我们做一些数学运算。

您的问题是：

min x+y
s.t. 2x = 2y
     x + y = 1.11 x y
     x >= 1
     y >= 1

第一个约束2x = 2y可以简化为x=y。现在，我们替换整个问题：

min 2*x
s.t. 2*x = 1.11 x^2
     x >= 1

然后重新排列：

min 2*x
s.t. 1.11 x^2-2*x=0
     x >= 1

从几何学上我们知道1.11 x^2-2*x产生的向上抛物线的最小值小于零。因此，有两点。这些由二次方程式给出：200/111和0。

其中只有一个满足第二个约束：200/111。

为什么我的求解器找不到此约束

最简单的方法是说这是因为x^2项（替换前的x*y是非线性的）。但这远不止于此。非线性问题可以很容易地解决，只要它们是凸的即可。 convex problem是一种约束，它的约束形成一个连续的空间，从而该空间中两点之间绘制的任何线都位于该空间的边界内。

您的问题不是凸面的。约束1.11 x^2-2*x=0定义了无限个点。这些点中没有两个点可以通过直线连接，该直线停留在约束定义的空间中，因为该空间是弯曲的。如果约束改为1.11 x^2-2*x<=0，则该空间将是凸形的，因为所有点都可以与保留在其内部的直线相连。

非凸问题是称为NP-Hard的更广泛问题的一部分。这意味着没有（也许不可能）有解决问题的简便方法。我们必须要聪明。

可以处理mixed-integer programming (MIP/MILP)的求解器可以有效地解决许多非凸问题，例如genetic algorithms之类的其他技术也可以。但是，在幕后，这些技术全都依靠美化的猜测和检查。

所以您的求解器会失败，因为问题是非凸性的，并且您的求解器既不够聪明，不足以使用MIP来猜测和检查其求解的方式，也不够聪明，无法使用二次方程式。

我该如何解决问题？

在这种特定情况下，我们能够使用数学快速找到解决方案，因为尽管问题不是凸的，但它是一类特殊情况的一部分。数学家的深入思考为我们提供了处理此类的简单方法。

但是请考虑该问题的一些概括：

(a) a x^3+b x^2+c x+d=0
(b) a x^4+b x^3+c x^2+d x+e =0
(c) a x^5+b x^4+c x^3+d x^2+e x+f=0

（a）具有三个必须检查的潜在解决方案（确切的解决方案是tricky），（b）具有四个（trickier），并且（c）具有五个。（a）和（b）的公式比二次公式复杂得多，并且数学家证明（c）的no formula可以使用“基本运算”表示。相反，我们必须求助于夸张的猜测和检查。

因此，我们用来解决您的问题的技术不能很好地推广。这就是生活在非凸和NP-hard领域的意义，并且是资助数学，计算机科学和相关领域研究的一个很好的理由。

lpsolve-不可行的解决方案，但我有示例1

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