Question

假设我有一个数组[1、2、4、5、3]。在此数组中，如果要对数组进行排序，则3、4和5不会处于它们应处于的位置。如何检查有多少元素不在正确的位置？

我能想到的最快方法是将值复制到临时数组，对数组进行排序，然后比较哪些索引具有不同的值。那将是一个O（nlogn）解决方案。在O（n）中有什么方法可以做到吗？

Answer 1

那将是一个O（nlogn）解决方案。在O（n）中有什么方法可以做到吗？

否。

这是一个非正式证明。

假设存在一种算法A，该算法可以发现数组中所有位置不正确的元素都比O(nlogn)好。还要假设A告诉您每个元素的正确位置是什么。这意味着您可以按以下方式对数组进行排序：

    list_of_moves = A(array);
    for move in list_of_moves:
       apply move

（这里有一个故意的“手浪”，因为移动不是简单的交换。但是在O(m)中有简单的算法可以做到这一点。例如，考虑“时钟耐心”。）

我们认为A是O(n)。移动步骤也将是O(m)，其中m是移动数...，小于或等于n。因此，我们现在有一个 general 排序算法，即O(n + m)。那是与O(n)相同的复杂度类。

但是，有数学证明O(nlogn)是常规排序算法的下界。（有关证明的说明，请参见https://www.bowdoin.edu/~ltoma/teaching/cs231/spring14/Lectures/6-moresorting/sortLB.pdf。）

矛盾！

因此，具有这些属性A 的算法O(n) 。

另一种选择是，（假设的）算法A会（准确地）告诉您哪些元素位于错误的位置，而不是它们的正确位置。

我认为这也是不可能的，但是我现在没有证据。

请注意，这与检查元素是否有序不同。这在O(n)中很容易做到。

问题在于，乱序元素仍然可以位于正确的位置。例如：

  1, 4, 3, 2

3乱序，但位置正确。在完全排序的数组中，3将处于现在的位置。 2和4将被切换。

Answer 2

您可以进行for循环，并检查下一个数组索引值是否大于之前的值。

int x = 0;

for (int i = 0; i < array.length - 1; i++)
{
    if (array[i+1] > array [i])
    {
         x++;
    }
}

x将是不按顺序排列的元素数