计算参加系列讲座的最少学生人数

Question

有些学生希望通过向每个n讲座发送最少数量的学生来最小化他们的讲座出勤率。

• 讲座i从时间a[i]开始，到时间b[i]结束
• 需要r[i][j]时间从讲座i转到讲座j

是否有算法计算参加所有讲座所需的最少学生人数？

Answer 1

将类视为图中的节点。如果可以及时从讲座(i,j)转到讲座i，则在图表中构建节点对j之间的边。图形的“根”节点是当天的第一类（在任何其他类到达该类之前开始的类）。

第一个关键观察是图表是有针对性的和非循环的（你不能及时回溯）。

您的目标是找到图表中的最小路径数，以便每个节点至少访问一次。这立即导致了第二个关键的观察，即这可以贪婪地完成。

所以算法如下：

1. 查找有向无环图（DAG）中的最长路径
2. 从图表中删除该路径中找到的节点
3. 增量minNumStudents
4. 重复，直到图表中没有更多节点

使用动态编程找到DAG中最长的路径很简单：

1. 计算图表的topological order ordering
2. 使用dist元素（图表中的节点数）保留数组V，初始化为0
3. 使用prev元素保留数组V，将前一个节点存储在路径中

然后

for each vertex `V` in `ordering`
    for each edge (V,W)
        dist[W] = min(dist[W],dist[V]+1)
        prev[W] = V;

您的最长路径以W结束，dist[W]最大。并且可以使用W数组从prev回溯来计算最长路径。