econstructor的相反命令是什么？

Question

例如，

Lemma ex_1:
exists n, n=1.
Proof.

显示一个子目标：

exists n : nat, n = 1

econstructor命令将目标更改为

?n = 1

可以获取的命令

exists n : nat, n = 1

还是从“？n = 1”开始？

或者，我们证明了为此存在（存在n，〜）形式的一些难题。 我们怎样才能“应用”这个难题？

Answer 1

温特豪德（ThéoWinterhalter）提出了一些适用于这种情况的策略，但总的来说，econstructor在某些意义上不是可逆的。

econstructor可以将两个不同的证明状态带到相同的结束状态。

这就是说，econstructor在证明状态上不是内射性的。例如，考虑这种（相当愚蠢的）情况。

Inductive exists': Prop :=
| intro (n: nat): n = 1 -> exists'.

Goal exists'.
Proof.
  econstructor.

即使起始目标（在econstructor之前不同），我们也以完全相同的结束状态结束。

econstructor通常会丢失信息。

即使我们知道原始状态是什么，也可能无法恢复原状。在此示例中，我们将使用标准库中的inhabited，但它对exists也同样有效，因为inhabited A等效于exists a: A, True。

Goal forall A: Type, inhabited A -> inhabited A.
Proof.
  intros A H.
  econstructor.

现在证明状态为

1 subgoal
A : Type
H : inhabited A
______________________________________(1/1)
A

，我们想使用H来解决这个目标。但这（通常）是不可能的。我们不能仅仅从声明A类型的元素存在并生成A类型的实际项开始。问题在于，由于H是Prop，如果目标也是Prop，我们可以销毁（或匹配）它。使用econstructor之后，情况就不再如此，因此我们必须有类型A的显式见证。在您的示例中，此方法可行，因为我们确切知道nat的哪个元素满足n = 1，但总的来说，我们不知道

证明助手Lean uses的通用语句forall A, nonempty A -> A（nonempty与Coq的inhabited相同）为其经典逻辑库提供了动力。 Coq中排除中间作品的相同证明（假设功能可扩展性和命题可扩展性）。因此，如果我们有forall A: Type, inhabited A -> A，则可以证明排除中律，甚至选择公理的某些强形式（加上一些可扩展性公理）。

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还要注意，当您使用econstructor时，任何存在变量最终都必须使用 current 上下文中存在的值实例化。如果您有H: exists n: nat, n = 1，则必须在使用H之前破坏econstructor。。

Hypothesis H: exists n: nat, n = 1.

Goal exists n: nat, n = 1.
Proof.
  destruct H as [x H].
  econstructor.
  exact H.
Defined.

Goal exists n: nat, n = 1.
Proof.
  econstructor.
  destruct H as [x H].
  Fail exact H.
Abort.

Answer 2

如果有假设

H : exists n : nat, n = 1

您可以使用

destruct H as [n Hn]

获得假设

n : nat
Hn : n = 1

这就是您使用这样的信息的方式。

对于问题的另一部分，我需要看一个您正在尝试做的例子。在这里，您使用econstructor（也可以是eexists），以便在您的上下文中获得一个存在变量?n，然后将通过 unification 对其进行求解。 例如，您然后用?n = 1来解决reflexivity，这是1 = 1的证明，因此Coq知道?n必须是1。

您还可以更加精确，并使用exist策略直接给证人。

exists 1. reflexivity.